Лекция 7. Перевод чисел в системах счисления

Перевод чисел из одной системы счисления в другую можно про­водить по общему правилу. Для того чтобы целое число из системы счисления с основанием р₁, перевести в систему счисления с основа­нием р₂, нужно последовательно делить его на р₂, выраженное в систе­ме с основанием р₁. Результат — остатки от промежуточных делений, записанные справа налево.

Например, нужно десятичное число 47 перевести в шестеричную систему счисления:

47	6
42	7	6
5	6	1
	1

Таким образом, 47₁₀ = 115₆.

Или десятичное число 136 переведем в восьмеричную систему счисления:

136	8
136	17	8
0	16	2
	1

Таким образом, 136₁₀ = 210₈.

Теперь попробуем перевести десятичное число в систему счисления с основанием больше 10, например в 14-ричную. Очевидно, что при последовательном делении па 14 у нас могут получаться промежуточ­ные остатки от 0 до 13, и привычных цифр нам не хватит. Условимся о следующих обозначениях: 10- А; 11 - В; 12 - С; 13 - D.

Переведем десятичное число 251 в 14-ричную систему счисления:

251	14
238	17	14
13	14	1
	3

С учетом нашей договоренности о «новых» цифрах имеем: 251₁₀=13D₁₄.

Интересно, как будет выглядеть десятичное число 251, например, в пятеричной системе счисления:

251	5
250	50	5
1	50	10	5
	0	10	2
		0

Таким образом, 251₁₀ = 13D₁₄ = 2 001₅.

На этом примере мы хотим вернуться к выводу, что число и коли­чество — понятия разные. Теперь можно объяснить это, сказав, что в различных системах счисления одно и то же количество выражается разными числами.

При обратном переводе удобнее «расписывать» числа по степеням, начиная с младших разрядов.

Двоичная система счисления строится но тем же правилам, что и остальные позиционные системы. Возьмем десятичное число, на­пример 97,31, и представим его в двоичной системе счисления, при этом в смешанном числе целая и дробная части переводятся по-разному: целая — путем последовательного деления на основание системы, в которую осуществляется перевод, а дробная — путем по­следовательного умножения. Результат же записывается совместно, через запятую, в данном случае это двоичная запятая:

97₁₀ = 1100001₂

97	2
96	48	2
1	48	24	2
	0	24	12	2
		0	12	6	2
			0	6	3	2
				0	2	1
					1

Для точности перевода можно выбрать более большое число знаков после запятой.

0,31₁₀ = 0,01001111₂

0,31*2= 0,62

0,62*2= 1,24

0,24*2= 0,48

0,48*2= 0,96

0,96*2= 1,92

0,92*2= 1,84

0,84*2= 1,68

0,68*2= 1,36

При умножении результата повторно на 2, необходимо оставлять только цифры после запятой.

Таким образом, 97,31₁₀ = 0,01001111₂

Над числами, представленными в различных системах счисления, можно выполнять арифметические операции так же, как это мы делаем с десятичными числами. Сложим в столбик два пятиричных числа:

24324

43243

123122

Почему получился такой результат? Выпишем числа по порядку в пятеричной системе счисления:

0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, 102, 103, 104, 110, 111, 112, 113, 114, 120 ...

Вспомним, что в этой системе есть только пять цифр, это 0, 1, 2, 3, 4, и после числа 4 следует 10, после 14 - 20, после 44 — 100, после 444 — 1000 и т.д., т.е. осуществляется переход в следующую позицию (разряд).

А теперь сложим два 15-ричных числа. Цифры этой системы та­ковы:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е.

1CD93

⁺ 5Е6А4

71547

Задание:

1. Перевести целые десятичные числа 9₁₀, 17₁₀ и 243₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

2. Перевести десятичные дроби 0,2₁₀ и 0,35₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления с точностью до трех знаков после запятой.

3. Перевести десятичные числа 3,5₁₀ и 47,85₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления с точностью до трех знаков после запятой.

4. Ответить на вопросы учебник Цв., стр.56 вопросы 1, 2.