Силы осцилляторов для атома водорода

Из этой таблицы вытекают следующие закономерности. Во-первых, для переходов с увеличением энергии сила осциллятора больше в случае увеличения орбитального квантового числа, т.е. переход сильнее перехода , если . Во-вторых, сумма сил осцилляторов для переходов в непрерывный спектр уменьшается с ростом орбитального квантового числа начального состояния, т.е. состояния с большим орбитальным моментом труднее ионизировать. В-третьих, наибольшей силой осциллятора обладают переходы в состояние с ближайшим главным квантовым числом. В-четвертых, силы осцилляторов для переходов с нижних уровней в состояния с большими квантовыми числами убывают как . Эти закономерности определяют вероятности соответствующих излучательных переходов в атоме водорода. Важным свойством силы осциллятора для водородоподобного иона является независимость данной величины от заряда ядра иона . Это легко увидеть из определения (3.39). В нем фигурируют две величины, зависящие от заряда ядра: частота перехода и матричный элемент дипольного момента перехода . Если учесть, что (см. формулу (3.17)), а (по аналогии с (3.7)), то сразу получаем требуемое утверждение.

ЛЕКЦИЯ 10 3.4. Динамическая поляризуемость атома

Рассмотрим теперь отклик атома на электромагнитное воздействие. Будем предполагать, что напряженность электрического поля в электромагнитной волне мала по сравнению напряженностью поля атома водорода на первой боровской орбите :

. (3.41)

Атомной напряженности соответствует атомная интенсивность излучения , так что неравенство (3.41) можно переписать в виде

. (3.42)

Отклик атома на электромагнитное излучение может быть охарактеризован наведенным дипольным моментом , который в случае монохроматического поля равен

. (3.43)

Здесь введена динамическая поляризуемость атома , которая определяется равенством

. (3.44)

В формулах (3.43) –– (3.44) –– комплексный вектор напряженности электрического поля в монохроматическом излучении, являющийся Фурье-компонентой от .

Напомним, что дипольный момент атома в отсутствие внешних полей равен нулю в силу сферической симметрии, поэтому величина наведенного дипольного момента действительно может служить мерой возмущения атома внешним воздействием. Линейная зависимость от напряженности электрического поля (3.43) справедлива в случае малости величины в смысле выполнения неравенств (3.41) –– (3.42). Таким образом, для достаточно малых полей отклик атома на электромагнитное возмущение может быть охарактеризован его поляризуемостью .

Для определения динамической поляризуемости атома воспользуемся спектроскопическим принципом соответствия. Согласно этому принципу изменение состояния атома складывается из изменения движения осцилляторов, соответствующих переходам между атомными состояниями (осцилляторов переходов). Неравенства (3.41) –– (3.42) означают малость возмущения состояния атомного электрона за счет действия электромагнитного поля. Таким образом, можно считать отклонения осцилляторов переходов от положения равновесия под воздействием поля малыми, поэтому для -го осциллятора справедливо уравнение движения в гармоническом приближении:

, (3.45)

где –– радиус-вектор, соответствующий отклонению осциллятора перехода от положения равновесия; , , –– константа затухания, собственная частота и сила осциллятора. Для простоты рассматриваем одноэлектронный атом в основном состоянии, дипольный момент которого равен . (В случае многоэлектронного атома дипольный момент равен сумме дипольных моментов атомных электронов.) В силу принципа соответствия наведенный дипольный момент атома складывается из наведенных дипольных моментов осцилляторов переходов : . Переходя в этом равенстве к Фурье-компонентам, имеем

, (3.46)

где –– Фурье-образ радиуса-вектора отклонения осциллятора перехода от положения равновесия. Выражение для этой величины следует из уравнения движения (3.45):

. (3.47)

Подставляя формулу (3.47) в равенство (3.46) и используя определение поляризуемости (3.44), находим для нее следующее выражение:

. (3.48)

Отсюда вытекает, что динамическая поляризуемость атома представляет собой, вообще говоря, комплексную величину с размерностью объема. Мнимая часть поляризуемости пропорциональна константам затухания осцилляторов переходов. Сумма в правой части равенства (3.48) включает в себя как суммирование по дискретному энергетическому спектру, так и интегрирование по непрерывному спектру энергии. Как мы увидим далее, мнимая часть поляризуемости ответственна за поглощение излучения, а действительная часть определяет преломление. Выражение (3.48) описывает не только одноэлектронный, но и многоэлектронный атом. Многоэлектронность атома учитывается тем обстоятельством, что в определении силы осциллятора (3.39) дипольный момент атома равен сумме дипольных моментов его электронов.

Из равенства (3.48) можно получить несколько важных предельных случаев. Так, если частота внешнего поля равна нулю, то формула (3.48) дает выражение для статической поляризуемости атома:

. (3.49)

Отсюда видно, что статическая поляризуемость –– действительная и положительная величина. Она имеет большое численное значение, если в спектре атома есть переходы с большой силой осциллятора и малой собственной частотой.

В противоположном, высокочастотном, пределе, когда и можно пренебречь собственными частотами в знаменателях (3.48), из формулы (3.48) с учетом золотого правила сумм (3.40), получаем

. (3.50)

Высокочастотная поляризуемость атома (3.50) –– действительная и отрицательная величина. Наконец, если частота внешнего поля близка к одной из собственных частот осцилляторов перехода, так что выполняется условие резонанса

, (3.51)

и можно оставить одно резонансное слагаемое в сумме (3.48), то из (3.48) следует выражение для резонансной поляризуемости:

. (3.52)

При выводе (3.52) из (3.48) в нерезонансных комбинациях было пренебрежено отличием частоты внешнего поля от собственной частоты перехода. Резонансная поляризуемость является комплексной величиной, действительная часть которой может быть как положительной, так и отрицательной.

Равенство (3.44), определяющее динамическую поляризуемость, после взятия обратного Фурье-преобразования может быть переписано в виде

, (3.53)

где –– действительная функция времени, Фурье-образ которой равен динамической поляризуемости . Наиболее простое выражение для следует из формулы (3.52):

, (3.54)

где –– ступенчатая функция Хэвисайда. Временная зависимость наведенного дипольного момента совпадает с временной зависимостью правой части равенства (3.54) для дельта-импульса поля: , где –– дельта-функция Дирака. В общем случае выражение для может быть получено путем замены частоты и суммирования по всем осцилляторам переходов. Заметим, что уменьшение собственной частоты колебаний с учетом затухания, следующее из приведенной замены, вполне естественно, поскольку трение (аналог затухания) уменьшает скорость движения.

Из формулы (3.54), в частности, следует равенство нулю поляризуемости для времен , что является отражением принципа причинности. Действительно, как это видно из (3.53), чтобы следствие по времени было позже его причины, необходимо выполнение условия: . Принцип причинности налагает определенные ограничения на вид функции , откуда вытекают соотношения КрамерсаКронига, связывающие действительную и мнимую часть динамической поляризуемости. Эти формулы имеют вид

, (3.55)

, (3.56)

введен интеграл в смысле главного значения:

. (3.57)

Пользуясь равенствами (3.55) –– (3.56), можно по мнимой части поляризуемости восстановить действительную часть и наоборот.