Лекция 6 Состояние э-м поля, вторичное квантование

Одна из основных задач Квантовой оптики - определение состояния светового поля. Её решение практически возможно только в ограниченной форме даже для монохроматического поля, т. к. даже оно имеет бесконечное число степеней свободы, например, состояний с произвольным числом фотонов. По этой причине реально исследуются частные характеристики светового поля, подобные тем, какие изучаются в статистической физике. В К. о. состояние поля и картина его флуктуации описываются корреляционными функциями, или полевыми корреляторами. Они определяются как квантово-механические средние от операторов поля. Простейшими характеристиками поля являются его спектр и средняя интенсивность. Эти характеристики находят из опытов, например, интенсивность света - по измерениям скорости фотоэмиссии электронов в ФЭУ. Теоретически эти величины описываются (без учёта поляризации поля) полевым коррелятором  в котором - эрмитово сопряжённые составляющие оператора электрического поля   в пространственно-временной точке x=(r,t). Оператор   выражается через   - оператор уничтожения фотона "k"-й моды поля U_k(r): Соответственно этому   выражается через оператор рождения   Знак < . . . > обозначает квантовое усреднение по состояниям поля, а если рассматривается его взаимодействие с веществом, то и по состояниям вещества. Только в частных случаях (например, в гауссовых полях) полная информация о состоянии поля содержится в корреляторе G^1,1(x₁, x₂). В общем случае детальное определение состояния поля требует знания корреляционных функций более высоких порядков (рангов). Стандартной формой корреляторов, обусловленной её связью с регистрацией поглощения фотонов, принята нормально-упорядоченная: в которой все п операторов рождения   стоят левее всех m операторов уничтожения   Порядок коррелятора равен сумме n+m. Практически удаётся исследовать корреляторы невысоких порядков. Чаще всего это коррелятор G^2,2( х₁,х₂; х₂,х₁), который характеризует флуктуации интенсивности излучения, его находят из экспериментов по совместному счёту фотонов двумя детекторами. Подобно этому определяется коррелятор G^n,n(x₁,. . .х _п; х _п,. ..x₁) из регистрации отсчётов фотонов п приёмниками или из данных n -фотонного поглощения. Определение G ^n,m с п ≠ т возможно только в нелинейных оптических экспериментах. В стационарных измерениях условие неизменности коррелятора G^n,m во времени требует выполнения закона сохранения энергии: где ω^+\- частоты гармоник операторов   соответственно. В частности, G^2,l находят из пространственной картины интерференции трёхволнового взаимодействия в процессе уничтожения одного и рождения двух квантов . Из нестационарных корреляторов особый интерес представляет G^0,1(x), определяющий напряжённость квантового поля. Величина |G^0,1(x)|² даёт значение интенсивности поля только в специфических случаях, в частности для когерентных полей. Одной из наиб. полных характеристик поля, определяемых экспериментально, является функция пространственно-временного распределения числа отсчётов  р(п,T) - вероятность реализации точно п фотоотсчётов в интервале времени Т. Эта характеристика содержит в себе скрытую информацию о корреляторах произвольно высоких порядков. Выявление скрытой информации, в частности определение функции распределения интенсивности излучения источником, составляет предмет т. н. обратной задачи счёта фотонов в К. о. Счёт фотонов -эксперимент, имеющий принципиально квантовую природу, что отчётливо проявляется, когда интенсивность I регистрируемого поля не флуктуирует. Даже в этом случае его действие вызывает случайную во времени последовательность фотоотсчётов с Пуассона распределением где b - характеристика чувствительности фотодетектора, т. н. его эффективность.

ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ

- метод рассмотрения квантовой системы, при котором роль независимых переменных играет число частиц в заданном состоянии. Вторичное квантование возникло при рассмотрении нерелятивистских систем, состоящих из тождественных частиц. Для бозе-частиц (подчиняющихся статистике Бозе - Эйнштейна) метод В. к. развит в 1927 П. Дираком (P. Dirac, 1927) и в том же году П. Йорданом (P. Jordan) и О. Клейном (О. Klein), для ферми-частиц (подчиняющихся статистике Ферми - Дирака) - Ю. Вигнером (E. Wigner) и Иорданом (1928). Этот метод позволяет рассматривать системы с большим числом степеней свободы и системы с переменным числом частиц. Аппарат Вторичного квантования имеет широкое применение в статистической физике и квантовой теории поля, где рассматриваются процессы с рождением и уничтожением частиц.

В. к. нерелятивистских систем. Рассмотрим квантово-механическую систему из N невзаимодействующих частиц, находящихся во внешнем поле. Пусть   - некоторая полная система одночастичных волновых функций (  включает в себя как пространственную координату  , так и спиновую переменную s). Они могут, например, соответствовать стационарным состояниям одной частицы во внешнем поле. Можно ввести полную систему многочастичных волновых функций следующим образом. Пусть N_i - число частиц в состоянии . Тогда состояние системы может быть задано набором чисел (N₁, N₂, . . .), указывающим, что N₁ частиц находится в состоянии  , N₂ частиц - в состоянии   и т. д. Вектор состояния системы в этом случае обозначают  . О таком описании системы говорят как об описании в пространстве чисел заполнения или в представлении вторичного квантования.

Для ферми-системы в каждом состоянии может находиться не более одной частицы, N_i=0,1. Для бозе-систем  N_i может быть любым неотрицательным целым числом, N_i=0,1, . . ., N. В пространстве чисел заполнения можно рассматривать системы с произвольным числом частиц. Оператор  , переводящий состояние системы   в состояние, у которого на i -уровне находится N_i+1 частиц,

называется оператором рождения. Оператор,   , который удаляет частицу с i -уровня,

называется оператором уничтожения. Коэффициент   в (1) и (2) определяются из условия того, что оператор   является оператором числа частиц в состоянии i, т. е.

Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют перестановочным соотношениям

для статистики Бозе - Эйнштейна (квадратные скобки, как обычно, означают коммутатор, т. е. [b, с]=bс-сb ) и 

для статистики Ферми - Дирака (фигурные скобки означают антикоммутатор, т. е.   ;  - Кронекера символ). Пространство чисел заполнения для бесконечного числа частиц наз. пространством Фока.

Любые квантовомеханич. операторы, заданные, напр., в конфигурационном представлении, можно записать при помощи операторов рождения и уничтожения в представлении В. к. Например, гамильтониан

где   - одночастичный

гамильтониан,   - потенциал двухчастичного взаимодействия, в представлении В. к. записывается в виде:

где 

 - соответственно операторы рождения и уничтожения частиц в состоянии   одночастичного гамильтониана (без учёта взаимодействия между частицами). Гамильтониан в представлении В. к. может быть записан в более компактной форме, если ввести операторы   ,

действующие на векторы состояния   в пространстве чисел заполнения:

Выражения для операторов  аналогичны разложению произвольной волновой функции по полной системе волновых функций  . Поскольку, однако, коэффициенты разложения являются не числами, а операторами,   и   называются вторично квантованными (отсюда назв. метода - "В. к.").

Достоинство метода В. к. в применении к системам взаимодействующих частиц состоит в том, что с его помощью естественным образом описываются переходы между состояниями системы, вызванные взаимодействием частиц. Эти переходы сводятся к исчезновению частиц в одном состоянии и появлению их в другом. Одновременно аппарат В. к. приспособлен и к рассмотрению процессов с переменным числом частиц - описывает рождение или уничтожение частиц в результате взаимодействия. В квантовой механике всякое слабо возбуждённое состояние системы взаимодействующих частиц может быть представлено как совокупность элементарных возбуждений - квазичастиц. Числа N_i в представлении чисел заполнения в этом случае интерпретируются как числа квазичастиц. Например, слабо возбуждённое состояние твёрдого тела, обусловленное колебаниями атомов кристаллической решётки, описывается как совокупность квазичастиц - фононов, свободно движущихся в объёме тела. При этом энергию возбуждения системы можно рассматривать как энергию идеального газа фононов. Основное состояние системы, в котором отсутствуют квазичастицы, можно рассматривать как вакуум, вектор состояния которого удовлетворяет условию   . Для слабо взаимодействующего неидеального бозе-газа операторы рождения и уничтожения квазичастиц связаны с операторами рождения и уничтожения исходных частиц  каноническими преобразования Боголюбова.

Квантование системы гармонических осцилляторов. Рассмотрим важный частный случай - систему n квантовых невзаимодействующих гармонических  осцилляторов(единичной массы) с гамильтонианом 

Здесь   - операторы обобщённых координаты и импульса i -осциллятора, а параметры ω_i имеют смысл частоты колебаний. Для перехода в представление В. к. вводятся операторы уничтожения и рождения 

Тогда гамильтониан принимает вид 

Операторы   удовлетворяют перестановочным соотношениям (3а). Обозначим через   решение уравнения   ; оно интерпретируется как вакуумное состояние i -осциллятора. Введём вакуумное состояние системы п осцилляторов:  .

Состояние 

является собственной функцией оператора H с собств. значением 

 ;

оно интерпретируется как состояние, в котором имеется K₁ частиц с энергией  , K₂ - с энергией   и т. д. Векторы состояния (5) при всевозможных значениях  Ki (K_i=0, 1, ..., i = l, ..., n) образуют базис в пространстве чисел заполнения. Оператор 

является оператором числа частиц, и 

2.1. Квантование и энергетические (фоковские) состояния

электромагнитного поля

Квантование электромагнитного поля с формальной точки зрения представляет собой математическую процедуру замены с-числовых функций поля на соответствующие операторные выражения. Физическим основанием проведения квантования поля является корпускулярно-волновой дуализм материи, который в случае электромагнитного поля заключается в наличии корпускулярных свойств у волнового объекта –– электромагнитного поля.

Действительно, хотя дискуссии о волновой или корпускулярной природе света велись с античных времен, на первоначальном этапе развития науки нового времени преобладала волновая точка зрения на свет. Эта точка зрения, которой придерживались такие крупные физики, как Гюйгенс и Френель, нашла свое убедительное подтверждение в опытах по дифракции и интерференции света и, в конечном счете, в уравнениях Максвелла, описывающих электромагнитное поле как волновой объект. С начала ХХ века, однако, появились важные свидетельства в пользу корпускулярной природы света: теория Планка излучения черного тела, объяснение Эйнштейном законов фотоэффекта, а также, несколько позднее, открытие и интерпретация эффекта Комптона. Таким образом, электромагнитное излучение оказалось физическим объектом, которому присущ корпускулярно-волновой дуализм. В результате перед теорией встала задача отражения этого факта на математическом уровне.

С физической точки зрения квантование электромагнитного поля можно интерпретировать как его разбиение на дискретные неделимые составляющие –– фотоны, –– сумма энергий которых равняется энергии поля, а любое состояние последнего может быть получено в виде линейной суперпозиции фотонных состояний.

Процедура квантования поля в качестве первого этапа содержит разложение его вектор-потенциала на пространственные Фурье-гармоники в некоторой ограниченной, но достаточно большой области пространства (объеме квантования):

, (2.1)

где –– индекс поляризации электромагнитного поля, –– волновой вектор. Для простоты будем представлять объем квантования в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами . Тогда волновой вектор поля принимает следующие дискретные значения:

, (2.2)

где –– целые числа. Объем квантования равен .

Заметим, что из (2.2) следует выражение для плотности состояний поля в пространстве волновых векторов ( -пространстве):

. (2.3)

В случае свободного электромагнитного поля (в отсутствие зарядов) удобно выбрать следующую калибровку вектор-потенциала:

; , (2.4)

где –– скалярный потенциал. Тогда для напряженностей электромагнитного поля и справедливы следующие выражения:

; , (2.5)

где –– скорость света. Из второго равенства (2.4) вытекает поперечный характер свободного электромагнитного поля:

. (2.6)

Здесь –– единичный вектор поляризации поля.

Из уравнений Максвелла с учетом калибровки (2.4) стандартным образом получается волновое уравнение для вектор-потенциала . Подставляя в волновое уравнение разложение (2.1), получаем

. (2.7)

Равенство (2.7) представляет собой уравнение для гармонического осциллятора с собственной частотой:

. (2.8)

Таким образом, пространственные Фурье-компоненты , которые мы будем называть модами электромагнитного поля, имеют осцилляторную временную зависимость (радиационный или полевой осциллятор):

, (2.9)

где –– безразмерная амплитуда соответствующей моды , –– размерный нормировочный множитель, зависящий от частоты и объема . Явный вид этого множителя определится условием квантования энергии радиационного осциллятора . Выражение для энергии электромагнитного поля, следующее из классической электродинамики, имеет вид

. (2.10)

Из равенств (2.5), (2.9), (2.10) следует, что энергия моды электромагнитного поля пропорциональна квадрату модуля безразмерной амплитуды :

. (2.11)

При записи (2.11) мы использовали для краткости однобуквенный индекс моды .

Квантование энергии радиационного осциллятора, приводящее к формуле Планка для энергии излучения черного тела, может быть представлено в виде равенства:

, (2.12)

где –– постоянная Планка, –– целое неотрицательное число, характеризующее степень возбуждения радиационного осциллятора с индексом , оно представляет собой число квантов электромагнитного поля, или фотонов, в данной моде поля.

Равенство (2.12) является вытекающим из эксперимента физическим основанием квантования электромагнитного поля. Из него с учетом формул (2.5), (2.9), (2.10) можно получить явное выражение для размерного нормировочного множителя :

. (2.13)

Таким образом, произвольное состояние электромагнитного поля однозначно задается набором целых неотрицательных чисел , характеризующих заполнение фотонами моды . Иными словами, можно ввести в рассмотрение вектор состояния электромагнитного поля в представлении чисел заполнения или энергетическое состояние поля (смысл последнего наименования будет ясен из дальнейшего):

. (2.14)

В формуле (2.14) использовано дираковское обозначение для вектора состояния, так называемый кет-вектор . Наряду с кетвектором используется также бра-вектор , комплексно-сопряженный кет-вектору. Эти названия происходят от английского слова bracket (скобки). Дираковские обозначения векторов состояний компактны, они в ряде случаев позволяют придать математическому выражению большую наглядность.

В дальнейшем, если речь идет об одной моде (одном радиационном осцилляторе), то индекс моды будем опускать, а для вектора состояния поля писать: , где –– число фотонов.

Векторы состояния в представлении чисел заполнения образуют полный ортонормированный набор базисных векторов, так что справедливы равенства:

, (2.15)

где –– символ Кроннекера, и

, (2.16)

где –– произвольный вектор состояния рассматриваемой моды электромагнитного поля. В соответствии с равенством (2.16) любое состояние электромагнитного поля может быть разложено по энергетическим состояниям.

Центральным моментом излагаемой здесь схемы квантования электромагнитного поля является замена безразмерной амплитуды моды поля в формуле (2.9) и ее комплексно-сопряженной величины на операторы уничтожения и рождения фотонов соответственно, действующие в пространстве векторов состояния поля. Эти операторы определяются согласно следующим равенствам:

(2.17)

для оператора уничтожения фотона и

(2.18)

для оператора рождения фотона. Шляпка над буквой есть обозначение оператора, индекс моды в дальнейшем может опускаться. Физический смысл операторов уничтожения и рождения фотонов ясен из их определения (2.17) –– (2.18). Используя определения (2.17) –– (2.18), можно показать, что операторы уничтожения и рождения фотонов являются эрмитовски-сопряженными операторами.

Важной величиной, характеризующей операторные свойства, является коммутатор операторов:

, (2.19)

где и –– произвольные операторы. Если коммутатор (2.19) равен нулю, то говорят, что соответствующие операторы коммутируют. Это имеет место в частном случае, когда операторами являются обычные (с-числовые) функции и , действие которых сводится к умножению вектора состояния на число. Но именно с-числовые функции описывают физическую систему на языке классической (неквантовой) физики. Таким образом, специфические квантовые свойства физического объекта на математическом уровне связаны с некоммутативностью операторов, описывающих рассматриваемый объект.

Из определения операторов уничтожения и рождения фотонов (2.17), (2.18) следует выражение для их коммутаторов:

, , . (2.20)

Для одной моды электромагнитного поля первая из формул (2.20) перепишется в виде

. (2.21)

Здесь индекс моды опущен. Отметим, что единица в правой части равенства (2.21) обозначает единичный оператор, действие которого на вектор состояния поля не меняет последнего (сводится к умножению на единицу). Формула (2.21) может быть легко проверена непосредственно воздействием оператора на произвольный вектор состояния , если учесть (2.17) –– (2.19).

Отметим, что с ростом числа фотонов, как это следует из формул (2.17) –– (2.18), некоммутативность операторов рождения и уничтожения становится несущественной, напротив, в случае малых чисел заполнения некоммутативность важна. Отсюда следует, что квантовые свойства поля сильнее всего проявляются, если для всех мод. Это так называемое вакуумное состояние поля. С другой стороны, в случае больших чисел заполнения электромагнитное поле ведет себя как классический объект. Это общее свойство всех квантовых систем: чем больше квантовое число, характеризующее систему (в случае электромагнитного поля это число фотонов в моде), тем ближе ее поведение к классическому. Говорят, что в таком случае реализуется квазиклассический предел.

В случае нескольких мод базисный вектор энергетического состояния равен произведению векторов состояний, относящихся к данной моде:

, (2.22)

при этом операторы уничтожения и рождения фотонов каждой моды поля действуют на «свой» вектор состояния (с тем же индексом моды ), так что операторы различных мод коммутируют друг с другом, в чем тоже легко убедиться.

Итак, обсуждаемые замены числовых безразмерных амплитуд на соответствующие операторы уничтожения и рождения фотонов

и (2.23)

в формулах (2.9) и (2.1) приводят к замене с-числового вектор-потенциала электромагнитного поля (2.1) на квантованный вектор-потенциал :

, (2.24)

где введены нормированные волновые функции фотонов:

. (2.25)

Формулы (2.17) –– (2.18) и (2.24) –– (2.25) отражают факт квантования электромагнитного поля.

Приведенная здесь схема квантования электромагнитного поля отличается от традиционной схемы, так называемого канонического квантования, опирающейся на квантование радиационного осциллятора в терминах обобщенных координат и импульсов по аналогии с квантованием гармонического осциллятора. Квантование гармонического осциллятора излагается в курсе квантовой механики.

Полученное квантованное выражение для вектор-потенциала электромагнитного поля (2.24) позволяет найти энергию поля как сумму энергий фотонов, т.е. получить в рамках последовательного математического формализма выражение (2.12) для энергии радиационного осциллятора. С этой целью воспользуемся классической формулой для энергии электромагнитного поля (2.10), подставив в нее операторные напряженности электрического и магнитного полей. В результате такой замены получается гамильтониан электромагнитного поля (не путать с напряженностью магнитного поля). Выражения для операторов и следуют из равенств (2.5), в которые подставлен квантованный вектор-потенциал (2.24). После интегрирования по объему квантования в формуле (2.10) получается гамильтониан электромагнитного поля в следующем виде:

. (2.26)

При выводе равенства (2.26) были использованы ортогональность волновых функций фотона (2.25), относящихся к различным модам поля, и коммутационное соотношение (2.20). В правой части второго равенства (2.26) введен оператор числа фотонов по формуле . Название этого оператора следует из равенства

, (2.27)

которое легко проверить, используя определение операторов уничтожения и рождения фотонов (2.17) –– (2.18).

Заметим, что гамильтониан (2.26) описывает свободное электромагнитное поле, т.е. электрические заряды в рассматриваемой области пространства (объеме квантования) отсутствуют.

Энергия электромагнитного поля, находящегося в энергетическом состоянии (2.22), в соответствии с основами квантовомеханического формализма равна среднему по данному вектору состояния от гамильтониана поля (2.26):

. (2.28)

Из (2.28) следует, что полная энергия поля равняется сумме энергий его мод, причем энергия моды, помимо слагаемого, совпадающего с правой частью равенства (2.12), содержит еще и член , называемый вакуумным. Присутствие вакуумного слагаемого в энергии является трудностью теории квантованных полей, поскольку формально приводит к расходимости энергии поля при стремлении числа мод к бесконечности даже в случае, когда число фотонов в каждой моде равно нулю. Эта трудность формально может быть обойдена простым отбрасыванием вакуумного члена, что, однако, нарушает последовательность теории. Существуют и другие способы «борьбы» с вакуумным слагаемым в энергии поля, на которых мы здесь не будем останавливаться.

Отметим, что формула (2.28) может быть переписана в следующем виде:

. (2.29)

Отсюда следует, что энергетическое состояние электромагнитного поля является собственным вектором гамильтониана поля, которому соответствует собственное значение, равное энергии поля . Этим и оправдывается название данного состояния поля.

Наряду с гамильтонианом можно ввести в рассмотрение оператор импульса электромагнитного поля по формуле:

. (2.30)

Данное выражение может быть получено аналогично формуле для гамильтониана (2.26) подстановкой операторных напряженностей и в формулу для импульса классического поля. Выражение для величины импульса поля в энергетическом состоянии следует из (2.30) после замены оператора числа фотонов на его собственное значение . В данном случае, как и в случае с энергией поля (2.28), присутствует та же трудность, связанная с наличием вакуумного слагаемого. Если это слагаемое отбросить, то для энергии и импульса электромагнитного поля имеем простые равенства:

, . (2.31)

Полученные выражения позволяют интерпретировать электромагнитное поле как совокупность фотонов, соответствующих модам поля , каждый из которых обладает энергией и импульсом . Отметим, что А. Эйнштейн в своей работе 1916 года, посвященной природе света, где было введено само понятие фотона, рассматривал электромагнитное излучение как идеальный газ фотонов. Идеальность в данном случае понимается как отсутствие взаимодействия между фотонами. Этот факт находит свое отражение в линейности уравнений Максвелла, следствием которой является принцип суперпозиции для электромагнитного поля.

Таким образом, концепция квантованного поля действительно отражает корпускулярно-волновой дуализм материи на математическом уровне: с одной стороны, выражение для вектор-потенциала (2.24) содержит волновые функции фотонов (2.25), определяющие волновые свойства поля, с другой стороны, в нем присутствуют операторы уничтожения и рождения фотонов, связанные с корпускулярными (квантовыми) свойствами поля. Заметим, что волновая функция фотона (2.25) может быть переписана через корпускулярные характеристики электромагнитного поля –– энергию и импульс фотона –– в следующем виде:

. (2.32)

Выражение для энергии фотона может быть также получено из общего релятивистского выражения для энергии частицы:

, (2.33)

если учесть, что масса фотона равняется нулю, а для модуля импульса справедливо равенство:

. (2.34)

При записи (2.34) было учтено, что .

Рассмотрим теперь временную эволюцию свободного электромагнитного поля, которая определяется его гамильтонианом в соответствии с уравнением Шредингера:

. (2.35)

Формальное решение этого уравнения имеет вид

. (2.36)

Здесь введен оператор эволюции по формуле и зависящий от времени вектор состояния поля .

В случае энергетического состояния электромагнитного поля, когда (для простоты рассматриваем одну моду поля), для его временной эволюции с помощью формул (2.36) и (2.29) можно получить

. (2.37)

Здесь мы отбросили вакуумное слагаемое в энергии энергетического состояния поля, как и в формуле (2.31).

Таким образом, временная эволюция свободного электромагнитного поля, находящегося в энергетическом состоянии, не изменяет энергетического характера состояния поля, а сводится к умножению его вектора состояния на фазовый множитель с равным единице модулем.

Временную эволюцию произвольного состояния поля можно получить, используя разложение его вектора состояния по полной системе векторов энергетических состояний (2.16) и равенство (2.37) для эволюции энергетического вектора поля:

. (2.38)

Отметим, что квадрат модуля коэффициента разложения произвольного вектора состояния по энергетическим состояниям –– –– равен вероятности обнаружения фотонов в состоянии :

. (2.39)

Изложенный формализм представляет собой квантование электромагнитного поля в представлении чисел заполнения (или энергетическом представлении), когда гамильтониан электромагнитного поля выражается через операторы уничтожения и рождения фотонов. Другим важным представлением является представление обобщенных координат и импульсов, которое используется в процедуре канонического квантования. В таком случае гамильтониан поля выражается через операторы обобщенных координат и обобщенных импульсов поля. Рассмотрим вкратце это представление, используя полученные результаты. Для простоты проведем рассмотрение для одной моды поля, индекс моды будем опускать.

Лекция 7 2.2. Координатные и импульсные состояния поля

Определим операторы безразмерных координат и импульсов электромагнитного поля с помощью операторов уничтожения и рождения фотонов в соответствии с формулами:

, (2.40)

. (2.41)

Операторы размерных координат и импульсов удобно представить в виде

, (2.42)

. (2.43)

Заметим, что, поскольку операторы уничтожения и рождения фотонов являются эрмитовски-сопряженными, операторы обобщенной координаты и импульса являются самосопряженными (эрмитовыми), как это следует из их определения (2.40) –– (2.43). Известно, что собственные значения эрмитовых операторов являются действительными числами, а их собственные функции взаимно ортогональны. С другой стороны, наблюдаемым физическим величинам в квантовой механике как раз соответствуют эрмитовы операторы. Так что в отличие от неэрмитовых операторов уничтожения и рождения фотонов операторам обобщенной координаты и обобщенного импульса электромагнитного поля должны соответствовать наблюдаемые характеристики поля. Действительно, если рассматривать разложение электромагнитного поля не на бегущие волны, как это представлено выражением (2.1), а на стоячие волны, то напряженности электрического и магнитного поля пространственных гармоник могут быть выражены через обобщенные координаты и импульсы:

, (2.44)

. (2.45)

В формулах (2.44), (2.45) для простоты приведены скалярные напряженности поля, –– объем квантования.

Размерность обобщенных координат и импульсов поля не совпадает с размерностью координаты и импульса вещественного осциллятора с отличной от нуля массой. В гауссовой системе единиц для соответствующих размерностей имеем:

; . (2.46)

Пользуясь формулами (2.40) –– (2.41), имеем следующие выражения для операторов уничтожения и рождения фотонов через операторы безразмерных обобщенных координат и импульсов:

, (2.47)

. (2.48)

Из этих формул видна эрмитовская сопряженность операторов и .

Из определений (2.40) –– (2.41) и коммутационных соотношений (2.20) –– (2.21) следует выражение для коммутаторов операторов и (для одной моды поля):

. (2.49)

Отсюда с учетом (2.42) –– (2.43) коммутатор размерных обобщенной координаты и импульса равен

. (2.50)

Явный вид операторов обобщенной координаты и импульса зависит от конкретного представления вектора состояния квантовой системы, т.е. от того, какая из величин выбрана в качестве аргумента (независимой переменной) при явной записи вектора состояния. Так, в случае - представления операторы обобщенной координаты и импульса электромагнитного поля имеют вид

, . (2.51)

Введем в рассмотрение координатные и импульсные состояния электромагнитного поля. Эти состояния являются собственными векторами соответственно оператора координаты и оператора импульса, т.е. удовлетворяют следующим уравнениям:

, (2.52)

. (2.53)

Координатные и импульсные состояния электромагнитного поля образуют полный набор ортогональных базисных функций, по которым может быть разложен произвольный вектор состояния электромагнитного поля. В отличие от энергетических состояний, принадлежащих (в случае электромагнитного поля) дискретному спектру, собственные значения координатных и импульсных состояний пробегают непрерывный ряд числовых значений и соответствующие собственные векторы образуют непрерывный спектр.

Явный вид координатного векторасостояния электромагнитного поля в -представлении сводится к дельта-функции от обобщенной координаты . Импульсный вектор состояния в координатном представлении может быть найден из (2.53) с учетом (2.51), соответствующее выражение имеет вид

. (2.54)

Поясним обозначение данного вектора состояния (левая часть равенства (2.54)). Буква под знаком кет-вектора (правые угловые скобки) обозначают тип состояния (импульсное), а буква под знаком бра-вектора (левые угловые скобки) означают, что данный вектор состояния записан в координатном представлении. Иными словами, аргументом функции, определяющей вектор состояния, является обобщенная координата. Знаменатель в правой части этого равенства найден из условия нормировки импульсного вектора состояния:

. (2.55)

Заметим, что в правой части равенства (2.55) стоит дельта-функция, в отличие от символа Кроннекера в случае нормировки энергетических состояний (2.15). Это обстоятельство связано с непрерывным спектром импульсных состояний.

Вероятность обнаружить значение обобщенной координаты, равное , в импульсном состоянии дается формулой

, (2.56)

подставляя в которую явный вид вектора импульсного состояния (2.54), находим

, (2.57)

т.е. соответствующая вероятность равномерно «размазана» по всему спектру возможных значений обобщенной координаты. Другим словами, в импульсном состоянии, когда значение обобщенного импульса фиксировано, значение обобщенной координаты полностью неопределено. Точно так же в координатном состоянии значение обобщенного импульса полностью неопределено, а вероятность дается правой частью равенства (2.57). Эти обстоятельства являются отражением общего квантово-механического принципа неопределенности Гейзенберга, который может быть представлен следующим неравенством:

, (2.58)

где и –– квантово-механические неопределенности физических величин и , которым соответствуют операторы и . –– действительное неотрицательное число, связанное с коммутатором рассматриваемых величин согласно равенству

. (2.59)

Из выражений (2.58) –– (2.59) следует, что если коммутатор операторов двух физических величин равен нулю, то соответствующие величины могут быть одновременно определены сколь угодно точно. Если же этот коммутатор отличен от нуля, то чем точнее будет определена одна из величин, тем менее точно будет определена другая величина. В частности, для обобщенной координаты и импульса условие (2.58) дает

. (2.60)

При записи (2.60) было использовано значение коммутатора (2.50). Постоянная Планка явно выделена в формулах (2.58) ––(2.59), чтобы обозначить масштаб квантово-механической неопределенности.

Выразим гамильтониан электромагнитного поля через операторы обобщенных координат и импульсов. С этой целью подставим в формулу (2.26) правые части равенств (2.47) ––

(2.48), в результате получим

. (2.61)

При выводе этой формулы было использовано коммутационное соотношение (2.49), в результате чего исчезло слагаемое ½, стоящее в круглых скобках правых частей равенства (2.26). Переходя в формуле (2.61) к размерным операторам обобщенных координат и импульсов, окончательно находим

. (2.62)

Полученное выражение представляет гамильтониан электромагнитного поля в виде суммы гамильтонианов радиационных осцилляторов, соответствующих различным модам поля. Если в формуле (2.62) перейти от операторных величин к обычным (с-числовым) функциям, то получим классическую функцию Гамильтона электромагнитного поля в виде

. (2.63)

Функция Гамильтона (2.63) описывает набор гармонических осцилляторов с равной единице массой. Уравнения Гамильтона с функцией (2.63) дают

, (2.64)

. (2.65)

Точка над символами обобщенных координат и импульсов в левых частях формул (2.64) –– (2.65) обозначает дифференцирование по времени. Равенство (2.64) представляет собой уравнение движения гармонического осциллятора, а формула (2.65) является выражением для обобщенного импульса осциллятора с массой, равной единице.

Отметим, что уравнения (2.64) –– (2.65) справедливы также в операторном виде, если ввести зависящие от времени (гейзенберговские) операторы обобщенных координат и импульсов по формулам:

, . (2.66)