Билет 1
1. Аксиомы стереометрии.
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
2 . Решите задачу:
В правильной теугольной пирамиде сторона основания равна 6, боковое ребро равно 4. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Sполн=Sбок+ SABC
SABC=1\2*AH*BC= 0.5*3 √3*6=9√3
AH=3√3 (по т. Пифагора)
3) ОН-центр впис. окружности. r=√3
АО=2√3 (по формуле) SO=2
SH=√7 – апофема.
4) Sбок=0,5*Р*√7=9√7
5) S=9√7+9√3 (это ответ)
_______________________________________________________________________________________________
Билет 2
1.Задание плоскости через прямую и не лежащую на ней точку.
Отмечаем 2 точки на прямой и по А1
2 . Решите задачу:
В правильной теугольной пирамиде сторона основания равна 6, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Билет 3
1.Задание плоскости через две пересекающиеся прямые.
Отмечаем точку пересечения и по точке на прямых, дальше по А1
2. Решите задачу:
В правильной теугольной пирамиде сторона основания равна 4, боковое ребро равно 6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
_____________________________________________________________________________________
Билет 4
1. Параллельные прямые в пространстве.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Доказательство:
1. Так как прямые a и b параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α.
2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой a обозначаем точки B и C, а на прямой b точку A.
3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (2 аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые a и b.
2.Решите задачу:
Решение: 1) треуг. OSD – прямоуг. (знаете почему)
По т. Пифагора OD=√100-36=8
AC=BD – диагонали BD=2*OD=16 (всё!)
_____________________________________________________________________________________
Билет 5
1. Лемма о параллельных прямых.
2.Решите задачу:
DO=0.5DB=9 SB=SA=√144+81=15(всё!)
_______________________________________________________________________________________
Билет 6
1. Параллельность трех прямых.
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
2.Решите задачу:
Решение: 1) Треугольник ВDD1 прямоугольный ВD=√25-9=4=В1D1
2) Треугольник В1С1D1 прямоугольный D1C1=√16-7=3=А1В1 (всё)
_______________________________________________________________________________________
Билет 7
1. Параллельность прямой и плоскости.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Док-во:
Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.