Задача №4
Условие.
Предлагается изучить взаимозависимость социально-экономических показателей региона.
Y1 – расходы населения региона на личное потребление, млрд руб.;
Y2 – стоимость продукции и услуг текущего года, млрд руб.;
Y3 – фонд оплаты труда занятых в экономике региона, млрд руб.;
X1 – удельный вес занятых в экономике среди всего населения региона, %;
X2– среднегодовая стоимость основных производственных фондов в экономике региона, млрд руб.;
X3 – инвестиции текущего года в экономику региона, млрд руб.
При этом, сформулированы следующие исходные рабочие гипотезы:
Задание:
1.На основе рабочих гипотез постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;
2.Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;
3.Опишите методы, с помощью которых может быть найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).
Решение.
1.В соответствии с предложенными рабочими гипотезами построим график, отображающий связи каждой из представленных переменных с другими переменными. Отличительной особенностью уравнений системы является наличие прямых и обратных зависимостей между переменными Y1, Y2 и Y3. Указанная особенность характерна для так называемых структурных уравнений. В состав структурных уравнений входят: а) эндогенные переменные (Yj), значения которых формируется в условиях данной системы признаков и их взаимозависимостей и б) экзогенные переменные (xm), значения которых формируются вне данной системы признаков и условий, но сами экзогенные переменные участвуют во взаимосвязях данной системы и оказывают влияние на эндогенные переменные. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначаются через , коэффициенты при экзогенных переменных обозначаются через , где i-число изучаемых объектов; m -число экзогенных переменных, которые обычно обозначают через x; j - число эндогенных переменных, обычно обозначаемых через Y. Таким образом, в каждом уравнении системы каждый коэффициент при переменной имеет двойную индексацию: 1) - номер эндогенной переменной, расположенной в левой части уравнения и выступающей в качестве результата; 2) - номер переменной, находящейся в правой части уравнения и выступающей в качестве фактора.
В нашей задаче система уравнений для описания выдвигаемых рабочих гипотез будет иметь следующий вид:
2.Выполним идентификацию каждого структурного уравнения и всей системы для ответа на вопрос - имеют ли решения каждое из уравнений и система в целом. Воспользуемся счётным правилом, по которому в каждом уравнении системы необходимо сравнить HY - число эндогенных переменных в данном уравнении и Dx - число отсутствующих в уравнении экзогенных переменных из общего для всей системы их перечня. Для удобства анализа представим результаты в таблице.
Результаты идентификации структурных уравнений и всей системы.
|
|
|
|
|
|
Номер уравнения |
Число эндогенных переменных в уравнении, HY |
Число экзогенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении, Dx |
Сравнение параметров HY и Dx + 1 |
Решение об идентификации уравнения |
|
1 |
2 |
0 |
2 > 0+1 |
Неидентифицировано |
|
2 |
2 |
1 |
2 = 1+1 |
Точно идентифицировано |
|
3 |
3 |
3 |
3 < 3+1 |
Сверхидентифицировано |
|
Вся система уравнений в целом |
Неидентифицирована |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. В том случае, когда хотя бы одно из уравнений не имеет решения, система в целом также не имеет решения. Если подобный результат нас не устраивает, необходимо внести коррективы в исходные рабочие гипотезы и отредактировать их таким образом, чтобы идентификация была возможна.
4. Теоретический анализ содержания взаимосвязи, отражённой в уравнении № 1, позволяет рассмотреть варианты возможной корректировки. Во-первых, из правой части может быть исключёна одна из экзогенных переменных. Скорее всего, ею может оказаться x3 - среднегодовая численность занятых в экономике региона, (млн. чел.), так как по своему экономическому смыслу она менее тесно связана с инвестициями, чем инвестиции прошлого года () и среднегодовая стоимость основных фондов в экономике региона, ().
Во-вторых, возможна корректировка путём исключения из правой части уравнения эндогенной переменной Y2 - стоимость продукции промышленности и АПК в текущем году, млрд. руб. Но в этом случае, уравнение перестанет быть структурным, следовательно, изучить обратную связь Y1 и Y2 будет невозможно. По этой причине подобная корректировка является нецелесообразной.
При корректировке рабочей гипотезы путём удаления x3 уравнение №1 становится точно идентифицированным, а вся система - сверхидентифицированной.
5. Для поиска решений сверхидентифицированной системы уравнений применяются: а) косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) для решения точно идентифицированных уравнений и б) двухшаговый МНК (ДМНК) для поиска решений сверхидентифицированных уравнений.