3. Сила давления жидкости на плоскую стенку

Зная закон распределения гидростатического давления в жидкости, можно найти полную силу давления на стенки и дно сосудов. Эта задача сво­дится к определению силы давления и нахождению ее точки приложения.

Используем основное уравнение гидростатики для нахождения полной силы давления жидкости на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под произвольным углом а (рис. 2.6). Вычислим силу F давления, действующего со стороны жидкости на некоторый

Рисунок 2.6 Схема для определения силы давления жидкости на плоскую стенку участок рассматриваемой стенки, ограниченный произвольным контуром и имеющий площадь, равную S.

Ось Ох направим по линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости, а ось Оу - перпендикулярно к этой линии в плоско­сти стенки.

Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к беско­нечно малой площадке dS:

dF = p dS = (p_o + pgh) dS = p_o dS + pgh dS, (2.16)

где р_о - давление на свободной поверхности; h - глубина расположения пло­щадки dS.

Для определения полной силы F проинтегрируем полученное выраже­ние по всей площади S:

F = p_o J dS + pg J hdS = p_oS + pgsin aJ ydS, (2.17)

S S S

где у - координата площадки dS.

Последний интеграл представляет собой статический момент площади S относительно оси Ох и равен произведению этой площади на координату ее центра тяжести (точка С), т.е.

J y^dS = уЛ

S

Следовательно, F = p_oS + pg sina y_CS = p_oS + pgh_CS (здесь he - глубина расположения центра тяжести площади S), или

F = (po + pghC)S = pcS (2.18)

те. полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произве­дению площади стенки на гидростатическое давлении р_С в центре тяже­сти этой площади.

В частном случае, когда давление р_о является атмосферным и действу­ет также с другой стороны стенки, сила F^ избыточного давления жидкости на плоскую стенку равна лишь силе F* давления от веса жидкости, т.е.

^зб = ^ = ^pghC^S = ^изб^

В общем случае давление р_о может существенно отличаться от атмо­сферного, поэтому полную силу F давления жидкости на стенку будем рас­сматривать как сумму двух сил: F_o от внешнего давления р_о и силы F* от веса жидкости, т.е.

F = Fо + F* = (ро + рc)S.

Рассмотрим вопрос о точках приложения этих сил, называемых цента­ми давления.

Так как внешнее давление ро передается всем точкам площади S одина­ково, то его равнодействующая F_о будет приложена в центре тяжести площа­ди S. Для нахождения точки приложения силы давления F* от веса жидкости (точка D) применим теорему механики, согласно которой момент равнодей­ствующей силы относительно оси Ох равен сумме моментов составляющих сил, т.е.

F yD =J У^ж ^,

S

где y_D - координата точки приложения силы F*.

Выражая F* и dF* через у_С и у и определяя y_D, получаем

pgsin aJ y²dS

Рст = Po + yh = Po + P g h 5

J y^dS = уЛ 12

(РЭ 21

где J_x = J y²dS - момент инерции площади S относительно оси Ох.

S

2

Учитывая, что J_x = J_xo + y_C S (J_xo - момент инерции площади S относи­тельно центральной оси, параллельной Ох), находим

yD = Ус + ^ (2.19)

yc^S

Таким образом, точка приложения силы F_ж расположена ниже центра тяжести площади стенки; расстояние между ними Лу = J_xo/y_CS.

Если давление р_о равно атмосферному, то точка D и будет центром давления. При р_о выше атмосферного центр давления находят по правилам механики как точку приложения равнодействующей двух сил: F_о и F*; чем больше первая сила по сравнению со второй, тем, очевидно, центр давления ближе к центру тяжести площади S.