Лекція 7-8. Тема: MathCad. Розв’язання рівнянь, систем рівнянь та нерівностей.

План:

1. Аналітичне розв’язання рівнянь.

2. Чисельне розв’язання рівнянь.

3. Графічне розв’язання рівнянь.

4. Розв’язання систем лінійних рівнянь.

5. Аналітичне розв’язання систем нелінійних рівнянь.

6. Чисельне розв’язання систем нелінійних рівнянь.

7. Розв’язання нерівностей.

Аналітичний розв’язок можна знайти для дуже обмеженої кількості задач. Ми можемо розв’язувати рівняння із змінними невисоких степенів які спеціально підібрані в підручнику. Чисельно ж можна розв’язати будь яке рівняння. Досвід показує, що простіші рівняння краще розв’язувати символьно, а більш складні – чисельно. Рідше – трапляються складні рівняння, які досить важко розв’язати чисельно і символьно, тоді використовують графічний метод розв’язання рівнянь. Він є досить трудоємким, але забезпечує точність не гіршу ніж чисельний процесор. Для цього використовують інструменти панелі Graph.

1. Аналітичне розв’язання рівнянь.

Для аналітичного розв’язання рівнянь в системі MathCad є спеціальний оператор Solve (Розв’язати) панелі Symbolic (Символьні).

Для того, щоб знайти корені рівняння за допомогою оператора Solve потрібно:

1. Вводимо оператор Solve з панелі Symbolic.

2. В лівому маркері задаємо вид рівняння, яке потрібно розв’язати. В якості „=” потрібно ввести знак рівності з панелі Boolean (Ctrl+”=”).

!!!! Також в лівий маркер можна вводити ім’я функції. У цьому випадку програма знайде нулі функції. Форма запису рівняння через функцію зручне у випадку, коли вона має велику довжину.

3. В правий маркер вводимо змінну, відносно якої потрібно виконати розв’язання рівняння.

Якщо рівняння має декілька розв’язків, то оператор Solve подає результат у вигляді вектора (матриця - стовпець).

Розглянемо найпростіший приклад:

Розв’язати рівняння: x²-2x-3=0. Для цього: Вводимо оператор Solve. Знак рівності вводимо з панелі

Boolean.

Найкраще MathCad знаходить корені алгебраїчних поліномів. Причому, знаходяться всі корені, як дійсні, так і уявні. Їх загальне число дорівнює найвищому степеню полінома. В алгебрі доведено, що аналітичні вирази існують тільки для поліномів 5го степеня. Якщо символьний процесор з’ясує, що степінь полінома вищий ніж 4, то буде задіяно напівчисельний метод. В результаті корені будуть знайдені, але не в формі виразів, а у вигляді десяткових чисел. Розглянемо дану різницю на прикладі: (х+2)²-(х+13)³=1.

Приклад:

Зверніть увагу на те, що рівняння має один дійсний розв’язок, і два комплексних.

Приклад:

Так як степінь даного полінома – 5, а це вище ніж 4, то застосовано чисельний метод. І результат отримано у вигляді десяткових чисел.

У випадку, коли відповідь є надто громіздкою, використовують оператор Float. Він служить для задання точності виводу результату.

Наприклад: Приклад:

Застосуємо оператор Float із точністю 10:

Це означає, що відповідь: -0,682327803.

Приклад:

Розв’язати рівняння з параметром:

Т акож бачимо, що рівняння має три корені. Один дійсний та два комплексних.

Розв’язання логарифмічних рівнянь.

Д ля розв’язання логарифмічних рівнянь слід пам’ятати, що натуральний логарифм в MathCad задається функцією ln, а десятковий – log. Для задання логарифма з основою х також служить функція log. Але в цьому випадку вона приймає два параметри: перший відповідає величині від якої потрібно знайти логарифм, другий призначений для вказування основи. Розв’язуючи логарифмічні та показникові рівняння зазвичай отримуємо складну відповідь. Для того, щоб привести її до більш зручного вигляду слід застосовувати разом з оператором Solve оператор Simplify. Наприклад:

Розв’язання тригонометричних рівнянь.

Із всіх видів рівнянь, тригонометричні рівняння MathCad розв’язує найгірше. Як відомо, більшість таких рівнянь мають нескінченну кількість коренів, які записуються за допомогою спеціальних виразів, наприклад: коренем рівняння sin(x)=0 є π+πk, (де k є Z(ціле число)). MathCad знаходить корені лише на проміжку одного періоду функції, заданої в рівнянні. Також, MathCad досить часто робить помилки у розв’язанні тригонометричних рівнянь, особливо, якщо таке рівняння містить параметри. Тому на практиці краще будувати графіки таких рівнянь, або намагатися максимально спростити рівняння. Розглянемо два таких приклада: