Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі. Қасиеттері

АНЫҚТАМА. Дискреттік кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп оның барлық мүмкін мәндерін сәйкес ықтималдықтарына көбейтіп қосқандағы қосындыны айтамыз.

Х кездейсоқ шамасының мүмкін мәндері болсында олардың сәйкес ықтималдықтары болсын. Сонда математикалық үміт мына теңдіктен анықталады:

М(Х)= (1)

Егер кездейсоқ шама Х-тің қабылдайтын мәндері ,... ал оларға сәйкес ықтималдықтары ,... болса және қатары абсолютті жинақты болса, онда осы қатардың қосындысын кездейсоқ шаманың математикалық үміті дейді.

М(Х)= .

Енді математикалық үміттің қасиеттерін көрсетейік.

1. қасиет. Тұрақты шаманың математикалық үміті сол тұрақтының өзіне тең:

М(С)=С, С=const.

Дәлелдеу. Х-тің барлық мәндері тұрақты С-ның өзіне тең, яғни болатын кездейсоқ шама деп қарастыруымызға болады. Сонда

М(С)= .

2- қасиет. Тұрақты көбейткішті математикалық үміт белгісінің сыртына шығаруға болады:

М(СХ)=СМ(Х), С=const.

Дәлелдеу. СХ-ті кездейсоқ шама деп қарастырамыз, сонда

М(СХ)= .

3- қасиет. Кездейсоқ екі шаманың қосындысының математикалық үміті әр кездейсоқ шамалардың математикалық үміттерінің қосындысына тең:

М(Х+У)=М(Х)+М(У).

1-салдар. Кездейсоқ шамалардың қосындыларының математикалық үміті олардың математикалық үміттерінің қосындысына тең, яғни

М .

Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу қиын емес. Бұл қасиет кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса да, тәуелді болса да орындалады.

2-салдар. Кездейсоқ екі шаманың математикалық үміті олардың математикалық үміттерінің айырмасына тең:

М(Х-У)=М(Х)-М(У).

Дәлелдеу. (-У)-ті (-1)У деп жазып, 2 және 3 - қасиеттерді пайдаланып дәлелденеді.

3-салдар. Кездейсоқ шама мен тұрақты шама қосындысының (айырымының) математикалық үміті сол кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен сол тұрақтының қосындысына (айырымына) тең, яғни

М .

4- қасиет. Тәуелсіз екі кездейсоқ шама көбейтіндісінің математикалық үміті олардың математикалық үміттерінің көбейтіндісіне тең, яғни

M .

1-салдар. кездейсоқ шамаларды қос- қостан тәуелсіз болса, онда

М .

Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу қиынға соқпайды.

Мысал. Үлестіру заңы белгілі (Х) кездейсоқ шаманың математикалық үмітін табайық:

х	2	4	5	6
р	0,3	0,1	0,2	0,4

Шешуі.

Мысал. Х және У екі тәуелсіз кездейсоқ шама үлестіру заңдарымен берілген. М(Х), М(У) кездейсоқ шамаларының математикалық үмітін табайық:

Шешуі. М(Х)=- ,

М(У)= .

Теорема-1. Егер А оқиғасының бір тәжірибедегі ықтималдығы р- ға тең болса, бір тәжірибедегі А оқиғасының пайда болу санының математикалық үміті де р-ға тең болады, яғни М(Х)=р.

х	1	0
р	р	1-р

Дәлелдеу. Шынында да, А оқиғасының бір тәжірибедегі пайда болу санын кездейсоқ шама ретінде қарастырсақ, оның үлестіру заңы мынадай болады: М(Х)= Теорема-2. n тәуелсіз тәжірибедегі А оқиғасының пайда болуы сандарының математикалық үміті тәуелсіз тәжірибелер саны мен оқиғаның әрбір тәжірибедегі пайда болуының ықтималдығы р-ның көбейтіндісіне тең: М(Х)=nр.