8.Оқиғалардың толық тобы. Толық ықтималдықтар формуласы. Мысал келтір.

9. Оқиғалардың толық тобы. Байес формулалары. Мысал келтір.

10. Тәуелсіз сынақтар тізбегі. Бернулли схемасы. Бернулли формуласы. Ең ықтимал табыс саны.

16. Қос-қостан тәуелсіздік және жиынтық тәуелсіздік. Бернштейн мысалы.

Тәуелсіз сынақтар тізбегі

Бернулли схемасы. Бернулли формуласы.

Бернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саны.

Оқиғаның әр тәуелсіз тәжірибеде пайда болу ықтималдығы Р болса, онда n тәжірибеде осы оқиғаның пайда болу саны k₀ ең ықтимал сан деп аталады, егер k₀ саны осы тәжірибелерден пайда болуы мүмкін басқа нәтижелердің ықтималдықтарынан асып кетсе немесе кем болмаса. Енді осы ең ықтималды сан k₀-ді анықтаудың жалпы формуласын табайық. Ол үшін ең үлкен ықтималдықты Р_n (k₀) деп ұйғарайық та, оның алдындағы Р_n (k₀-1) мен одан кейінгі

Р_n (k₀+1) ықтималдығын алайық. Сонымен

болады. Бұлардың әр қайсысын жеке жеке қарастырайық. Сонда

болып келеді. Бұдан К₀≤np+p екені шығады. Екінші теңсіздіктен

.

Бұдан ≥ np-q Бұл екі теңсіздікті біріктіргенде, np-q≤ ≤np+p болады. Бұл теңсіздіктің оң жақ бөлігін түрлендірейік:

np+p=np+(1-q)=(np-q)+1.

Сонымен, алдыңғы теңсіздіктің оң жақ бөлігі сол жақ бөлігінен бір бүтін бірлікке артық. np-q мен np+p сандары бөлшек болса, онда айырымы бірге тең екі бөлшек сан шығады, бірақ m мәні бүтін сан болғандықтан, ең ықтималды сан біреу ғана болады.

Сонымен, ең ықтимал сан қос теңсіздіктен анықталады

np-q≤ ≤n+p (1) және егер:

а) np-q бөлшек сан болса, онда бір ең ықтимал сан болады;

б) np-q бүтін сан болса, онда екі ең ықтимал сан және +1 болады;

в) np бүтін сан болса, онда ең ықтимал сан =np болады.

Мысал: Тәуелсіз 6 сынау жүргізілсін дейік. Оның әрқайсысында А оқиғасының пайда болу ықтималдығы 0,2-ге тең. А оқиғасының пайда болуының ең жоғары ықтималдықты санын табу керек. Шешуі: Есептің шарты бойынша n=6; p=0,2; q=0,8. Ең ықтимал сан -ді табу үшін (1) қос теңсіздігін пайдаланамыз. Осыған есептің берілгенін қойсақ, 6∙0,2-0,8≤ ≤6∙0,2+0,2 немесе 0,4≤ ≤1,4 болады. Мұндағы np+p=1,4, ал np-q=0,4 бөлшек сандары болғандықтан =1.

11. Пуассонның жуықтау формуласы. Мысал келтір.

12. Муавр-Лапластың жергіліктік және интегралдық теоремалары. Салдарлары. Мысал келтір.

13. Дискретті кездейсоқ шама. Үлестірім заңы. Қасиеттері. Үлестірім түрлері. Мысалдар.

14.Үзіліссіз кездейсоқ шамалар. Үлестірім функциясы, тығыздығы. Қасиеттері. Үлестірім түрлері. Мысалдар.

15. Биномдық және Пуассон заңымен үлестірілген кездейсоқ шама. Олардың сандық сипаттамаларын қорытын шығар. Мысал келтір.

АНЫКТАМА: Егер Х кездейсок шамасы 0,1,2,...n мәндерін кабылдау ықтималдығы , мундағы ал элементтен К-дан жасалган теру саны болса, онда Х-ді Бернулли заны бойынша улескен деп айтады. Немесе бұл улестірімді биномдык деп те айтады. Бернулли заны бойынша улестірілген кездейсок шаманын математикалык үмітін табалык n – рет Бернулли тәжірибесін жургізгенде А оқиғасынын пайда болу санын Х аркылы белгіледік. Жанадан кездейсок шамалар өнгізейік.

– ші тәжиребеде пайда болса

– ші тәжиребеде пайда болмаса

Сонда Х кездейсок шамасын косындысы турінде жазуға болады, өйткені бүл косынды да турган әрбір косылныш не 0-ге, не 1-ге тен және бірлердін саны А оқиғасынын пайда болу саны канша болса сонша. Математикалык үміттін аныктамасын және онын касиеттері аркылы Х-дін математикалык үмітін есептеуге болады:

Енді х_i – нын үмітін табалык:

Сонымен (13)

Пуассон үлестірім. Анықтамасы және сандық сипаттамалары.

АНЫКТАМА: Егер Х кездейcок шамасы 0,1,2,…n мәндерін кабылдаса және бұл мәндері кабылдау ықтималдығы:

мундағы болса, онда Х-ті Пуассон заны бойынша улескен деп айтады.

Пуассон заны бойынша улестірілген Х кездейсок шамасы ушін:

(16)

(17)

(18)

Мұндағы Пуассон заңының параметрі деп аталады.