
-
Множество – это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое.
Способы задания множеств:
-
перечисление всех элементов множества (A = {a1, a2,…, an});
-
предикат (разрешающая процедура) – это некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения. Например, если для данного элемента выполняется какое-либо условие – принадлежит (A = {x | P(x)}, где P(x) – какое-то свойство).
-
порождающая процедура, которая будучи запущенной, порождает некоторые элементы множества. Описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. Тогда элементы множества - все объекты, которые могут быть получены (построены) с помощью такой процедуры (A = {x | x = f() } ).
-
графический (диаграммы Эйлера-Венна (Венна)).
Операции над множествами:
-
Пересечением множеств
и
называется множество
, каждый элемент которого принадлежит и множеству
, и множеству
.
-
Объединением множеств
и
называется множество
, каждый элемент которого принадлежит множеству
или множеству
.
-
Разностью множеств
и
называют множество
, каждый элемент которого принадлежит множеству
и не принадлежит множеству
.
-
Симметрическая разность двух множеств — множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам.
-
Дополнение - множество всех элементов, не принадлежащих A, т.е. множество U\A, где U – универсальное множество.
-
Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают АхВ. Таким образом АхВ = {(x;y) | x Є A, y Є B}.
К унарным операциям можно отнести абсолютное дополнение, мощность, булеан.
-
Разбиения и покрытия
Пусть U — универсальное множество, а I - произвольное множество и каждому элементу i∈I взаимно однозначно сопоставлено подмножество Ai⊆U.
Тогда говорят, что задано (индексированное) семейство множеств (Ai)i∈I. Множество I называют множеством индексов, а множества Ai — элементами семейства (Ai)i∈I.
В случае I∈N получаем последовательность множеств, или счетное семейство множеств;
если множество I конечно, получаем конечное семейство множеств. Таким образом, семейство (Ai)i∈I определено, если задано отображение ν:I→2U.
Отметим, что любое множество, элементы которого есть некоторые подмножества универсального множества U, т.е. любое множество A⊆2U, можно считать семейством (Ai)i∈I, где I=A, a ν — тождественное отображение множества A на себя.
Разбиение
M
– семейство множеств, которые
являются подмножествами M
и попарно не пересекаются. (
и
при
)
Покрытие М – семейство множеств, которые являются подмножествами М и могут пересекатся между собой.
Семейство называется дизъюнктным, если состоит из попарно не пересекающихся множеств, которые являются подмножествами А, но объединение этих множеств не даёт А.
Дизъюнктное покрытие – это разбиение.
-
Булеан – множество всех подмножеств множества A, обозначается P(A). Мощность конечного множества равна количеству ее элементов обозначается |A|. Мощность пустого множества равна 0. Если |A| = n, то |P(A)| = 2^n.
-
Свойства операций над множествами:
-
Прямое произведение А и В (обозначается AхВ) – это множество всех упорядоченных пар элементов (a, b), где a є A, b є В. При этом считается, что (a1, b1) = (a2, b2) тогда и только тогда, когда a1 = a2, b1 = b2.
Мощность прямого произведения равна |AхВ|=|A|*|B|.
Также рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из нескольких элементов, которые называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.
Декартовым
произведением множеств А,
А
,…,
A
называют
множество кортежей длины n, образованных
так, что первая компонента принадлежит
множеству А
,
вторая – А
,
…, n-ая – множеству А: А
А
…
A
.
-
Бинарное отношение из множества A в множество B любое подмножество
множества
, то есть
(R отношение из A в B)
Способы задания БО: перечислением, таблицей, графом, графиком.
Область определения БО ρ — множество, состоящее из таких x, для которых 〈x,y〉∈ ρ хотя бы для одного y. D(ρ) ={x∃y |〈x,y〉 ∈ ρ}
Область значений БО ρ — множество, состоящее из таких y, для которых 〈x,y〉∈ ρ хотя бы для одного x. R(ρ) ={y∃x |〈x,y〉∈ρ}
Инверсия (обратное
отношение) ρ —
называется
множество упорядоченных пар
,
таких, что
.
-
Произведение отношений. Степень отношений. Обобщенное понятие отношения.
Произведением
отношений
и
называется
отношение
–
совокупность пар
,
для которых существуют такие элементы
,
что
,
а
.
Степенью отношения R на множестве называется его n-композиция (произведение) с самим собой.
Степень
отношения
определяется так:
Обобщенное понятие отношения – это подмножество прямого произведения множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей)