1.7. Движение электронов в электростатическом поле.

Пространство занятое электрическим (как и магнитным) полем является элементом электронной оптики для потока заряженных частиц. По аналогии со световой оптикой возможны электронные линзы, призмы и зеркала для пучков электронов или ионов, что находит применение в электронных пушках при формировании электронных пучков для технологической обработки материалов. Движение заряженной частицы определяется силой, действующей со стороны этих полей.

В случае электростатического поля в соответствии с выражением (1.10) и вторым законом Ньютона можем записать векторное соотношение

, (1.33)

которое в декартовой системе координат даст систему из трех дифференциальных уравнений движения нерелятивистских электронов, записанных через соответствующие проекции вектора a − ускорения частицы и вектора E напряженности поля, m – масса, а –e – отрицательный заряд электрона:

(1.33´)

Рассмотрим движение электрона в поперечном однородном электрическом поле E_y=const; E_x=E_z=0. Допустим, что электрон влетает в поле вдоль оси Z (рисунок 1.10) с начальной скоростью v_z=const в начале координат. Определим траекторию решением системы уравнений (1.33´). Интегрирование по времени дает:

Учитывая, что z = v_z t, исключим время из правой части последнего выражения. Получим уравнение траектории электрона в функции координаты z:

Рисунок 1. 10

Таким образом, траекторией электрона в однородном электростатическом поле является парабола.

Практический интерес вызывает угол _E отклонения от первоначального направления движения электрона. Из рисунка 1.10 видно, что tg_E = dy/dz. Дифференцируя полученное выражение по z найдем, что

,

т. е. величина угла отклонения электрона при попадании в поперечное электростатическое поле пропорциональна напряженности поля z и его протяженности, и обратно пропорциональна квадрату скорости электрона.

Для нахождения траектории электронов движущихся в электрическом поле в общем случае, необходимо решать систему (1.33´). Это возможно если напряженность поля или его потенциал заданы в виде функций координат

В пространстве свободном от заряда, электрический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:

Решение уравнения Лапласа с заданными граничными условиями позволяет найти потенциал как функцию координат, а следовательно, и составляющие напряженности поля.

1.8. Ускорение электронов в электростатическом поле

Для сообщения электронам необходимой энергии и формирования из них потока частиц самым простым распространенным способом является действие на него электростатическим полем, сила действия которого определяется выражением (1.10). Согласно (1.33), можем записать скалярное соотношение

где ускорение записано через производную скорости электрона v.

Рассмотрим движение электрона в электрическом поле. Проинтегрируем данное соотношение вдоль его пути l от некоторой точки 1 к точке 2:

При движении вдоль пути l изменяется напряженность электрического поля и скорость электрона. Заменив в левой части равенства дифференциал пути на его выражение через дифференциал времени (dl=vdt), после интегрирования получим

Данное выражение утверждает, что приращение кинетической энергии электрона при его движении в электрическом поле определяется работой электрического поля. Полагая, что из точки 1 электрон начинает движение с нулевой начальной скоростью, и в точке 2 достигает конечную скорость v , а (₁ − ₂) = U − разность потенциалов (напряжение) между данными точками вдоль траектории электрона, окончательно получим

Равенство следует также непосредственно из закона сохранения энергии, и утверждает, что при движении в электрическом поле с разностью потенциалов U под действием силы электростатического поля электрон приобретает энергию, равную произведению его заряда на разность потенциалов.

Откуда следует выражение для скорости электрона, которую он приобретает при движении на участке поля с разностью потенциалов U:

Подставляя значения заряда и массы электрона получим, что v = 5,93∙10³  м/с, где значение потенциала берется в вольтах. Однако если определить скорость электрона, ускоренного разностью потенциалов порядка 10⁶ В, то получим значение скорости превышающее скорость света с, что противоречит основному положению теории относительности. Поэтому формула справедлива при v << c, практически при ускоряющих напряжениях U до 30 кВ.