1.6. Связь между потенциалом и вектором напряженности

Электрическое поле, как известно, полностью описывается векторной функцией Е(r). Зная ее, мы можем найти силу, действующую на интересующий нас заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при каком угодно перемещении заряда и другое. А что дает введение потенциала? Прежде всего, оказывается, зная потенциал (r) данного электрического поля, можно достаточно просто восстановить и само поле Е(r). Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Связь между  и Е можно установить с помощью уравнения (1.23). Пусть перемещение dl совершается параллельно оси X, тогда dl = i dx, где i – орт оси X, dx – приращение координаты х,

,

где Е_х – проекция вектора Е на орт i (а не на перемещение dl). Сопоставив последнее выражение с формулой (1.23), получим

, (1.28)

где символ частной производной подчеркивает, что функцию (х, у, z) надо дифференцировать только по х, считая у и z при этом постоянными.

Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие выражения для проекций Е_y и Е_z. А определив Е_х, Е_у, Е_z, легко найти и сам вектор Е:

(1.29)

Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенциала  (grad ). Вводя для упрощения записи векторный дифференциальный оператор  («набла»)

уравнение (1.29) можно представить в более компактной форме:

, (1.30)

т. е. напряженность Е электростатического поля равна со знаком минус градиенту потенциала. Это и есть та формула, с помощью которой можно восстановить поле Е, зная функцию (r).

Пример. Найти напряженность Е поля, потенциал которого имеет вид: 1) , а – постоянная; 2) , а – постоянный вектор, r – радиус-вектор интересующей нас точки поля.

1. Воспользовавшись формулой (1.29), получим .

2. Представим сначала функцию  как , где a_x, a_y, a_z – постоянные. После этого с помощью формулы (1.29) найдем . Видно, что поле Е является в данном случае однородным.

Получим еще одну полезную формулу. В соотношении (1.23) запишем правую часть как Е dl = E_l dl, где dl = |dl| – элементарный путь; E_l – проекция вектора Е на перемещение dl. Отсюда

, (1.31)

т. е. проекция вектора Е на направление перемещения dl равна со знаком минус производной потенциала по данному направлению (это подчеркнуто символом частной производной).

Эквипотенциальные поверхности. Введем понятие эквипотенциальной поверхности – поверхности, во всех точках которой потенциал =const − имеет одно и то же значение.

Убедимся в том, что вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала . В самом деле, из формулы (1.31) следует, что проекция вектора Е на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. А это значит, что вектор Е нормален к данной поверхности. Далее, возьмем перемещение dl по нормали к поверхности в сторону уменьшения , тогда  < 0 и согласно (1.31) Е_l > 0, т. е. вектор Е направлен в сторону уменьшения , или в сторону, противоположную вектору .

Эквипотенциальные поверхности наиболее целесообразно проводить так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы одинаковой. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще («круче потенциальный рельеф»), там напряженность поля больше. Ввиду того, что вектор Е всюду нормален к эквипотенциальной поверхности, линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

Рисунок 1.9

Н а рисунке 1.9 показана двухмерная картина электрического поля: пунктиром – эквипотенциали, сплошными линиями – линии вектора Е. Такое изображение придает большую наглядность. Сразу же видно, в какую сторону направлен вектор Е, где напряженность больше, где меньше, где больше крутизна потенциального рельефа. С помощью таких картин можно получить и качественные ответы на ряд вопросов: куда начнет двигаться заряд при помещении его в ту или иную точку, где больше градиент потенциала (по модулю), в какой точке поля на заряд будет действовать большая сила и др.

О преимуществах потенциала. Ранее было отмечено, что электростатическое поле исчерпывающим образом характеризуется векторной функцией Е(r). Какая же польза от введения потенциала? Существует несколько весомых причин, убедительно свидетельствующих о том, что потенциал – понятие действительно весьма полезное, и не случайно, что этим понятием широко пользуются не только в физике, но и в технике.

1. Зная потенциал (r), можно предельно просто вычислить работу сил поля при перемещении точечного заряда q' из точки 1 в точку 2:

(1.32)

где ₁ и ₂– потенциалы в точках 1 и 2. Значит, искомая работа равна убыли потенциальной энергии заряда q' в поле при перемещении его из точки 1 в точку 2. Расчет работы сил поля по формуле (1.32) оказывается не только проще, но в некоторых случаях и единственно возможным.

2. Во многих случаях оказывается, что для нахождения напряженности Е электрического поля легче сначала подсчитать потенциал  и затем взять градиент от него, нежели вычислять Е непосредственно. Это весьма существенное преимущество потенциала. Действительно, для вычисления  нужно взять один интеграл, а для вычисления Е – три (ведь это вектор). Кроме того, обычно интегралы для определения  проще, чем для Е_х, Е_у, Е_z.

Заметим, что это не касается сравнительно небольшого числа задач с достаточно хорошей симметрией. В этих случаях нахождение поля Е непосредственно или с помощью теоремы Гаусса часто оказывается значительно проще.