1.5. Циркуляция вектора напряженности. Потенциал

Теорема о циркуляции вектора Е. Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является потенциальным, т. е. работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает электростатическое поле – поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля Е в точку 2, взять единичный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении dl равна Е dl, а вся работа А₁₂ сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как

(1.20)

Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным.

Как мы сейчас покажем, из независимости линейного интеграла (1.20) от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути этот интеграл равен нулю. Интеграл (1.20) по замкнутому пути называют циркуляцией вектора Е.

Итак, мы утверждаем, что циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю, т. е.

(1.21)

_

Это утверждение называют теоремой о циркуляции вектора Е.

Рисунок 1.7

Рисунок 1.7

Для доказательства этой теоремы разобьем произвольный замкнутый путь на две части 1а2 и 2b1 (рисунок 1.7). Так как линейный интеграл (1.20) как работа сил поля А₁₂ не зависит от пути между точками 1 и 2, то А_1а2 = А_1b2.

С другой стороны, ясно, что А_1b2 = − А_2b1, где А_2b1 – интеграл по тому же участку b, но в обратном направлении от точки 2 до точки 1 (работа внешних сил против сил поля). Поэтому А_1а2 + А_2b1 = А_1а2 − А_1b2 = 0, что и требовалось доказать.

Поле, обладающее свойством (1.21), называют потенциальным. Значит, любое электростатическое поле является потенциальным.

Теорема о циркуляции вектора Е позволяет сделать ряд важных выводов, практически не прибегая к расчетам. Вот два примера.

Пример 1. Линии электростатического поля Е не могут быть замкнутыми.

В самом деле, если это не так и какая-то линия вектора Е замкнута, то взяв циркуляцию вектора Е вдоль этой линии, мы сразу же придем к противоречию с теоремой (1.21), поскольку она не будет равной нулю. Значит, действительно, в электростатическом поле замкнутых линий вектора Е не существует: силовые линии начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных (или уходят в бесконечность).

Пример 2. Возможна ли конфигурация электростатического поля как на рисунке 1.8?

Рисунок 1.8

Нет, невозможна. Это сразу станет ясно, если мы применим теорему о циркуляции вектора Е к замкнутому контуру l, показанному на рисунке пунктиром. Стрелки на контуре показывают направление обхода. При таком специальном выборе контура вклад в циркуляцию на вертикальных участках его равен нулю: здесь Е  dl и Еdl = 0.

Рисунок 1.8.

Остаются два одинаковых по длине горизонтальных участка. Из рисунка 1.8 сразу видно, что вклады в циркуляцию на этих участках противоположны по знаку, но не одинаковы по модулю (на верхнем участке больше, ибо линии гуще, а значит, Е больше). Поэтому циркуляция оказывается отличной от нуля, что противоречит (1.21).

Потенциал. До сих пор, мы рассматривали описание электрического поля с помощью вектора Е. Однако, существует и другой адекватный способ описания – с помощью потенциала  (заметим сразу, что оба эти способа однозначно соответствуют друг другу). Как мы увидим, второй способ обладает рядом существенных преимуществ.

Тот факт, что линейный интеграл (1.20), представляющий собой работу сил поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками, позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат (r), убыль которой

, (1.22)

где ₁ и ₂ – значения функции  в точках 1 и 2. Так определенная величина (r) называется потенциалом поля. Из сопоставления выражения (1.22) с выражением для работы сил потенциального поля (которая равна убыли потенциальной энергии частицы в поле) можно сказать, что потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля.

Потенциалу какой-либо произвольной точки О поля можно условно приписать любое значение ₀. Тогда потенциалы всех других точек поля определяются согласно (1.22) однозначно. Если изменить ₀ на некоторую величину , то на такую же величину изменятся и потенциалы во всех других точках поля.

Таким образом, потенциал  определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Значение этой постоянной не играет роли, так как все электрические явления зависят только от напряженности электрического поля. Последнее же определяется, как мы увидим, не самим потенциалом в данной точке поля, а разностью потенциалов в соседних точках поля.

Единицей потенциала является вольт (В).

Потенциал поля точечного заряда. Формула (1.22) содержит не только определение потенциала , но и способ нахождения этой функции. Для этого достаточно вычислить интеграл по любому пути между двумя точками и представить затем полученный результат в виде убыли некоторой функции, которая и есть (r).

Можно поступить проще. Воспользуемся тем, что формула (1.22) справедлива не только для конечных перемещений, но и для элементарных dl. Тогда согласно этой формуле элементарная убыль потенциала на этом перемещении есть

(1.23)

Другими словами, если известно поле Е(r), то для нахождения  надо представить Е dl (путем соответствующих преобразований) как убыль некоторой функции. Эта функция и есть .

Найдем таким способом потенциал поля неподвижного точечного заряда с напряжённостью (1.11):

,

где учтено, что скалярное произведение e_r∙dl = 1∙(dl)_r = dr ибо проекция вектора dl на вектор е_r, а значит, и на r равна приращению модуля вектора r, т. е. dr. Величина, стоящая в круглых скобках под знаком дифференциала, и есть (r). Так как присутствующая здесь аддитивная константа никакой физической роли не играет, ее обычно опускают, стремясь сделать выражение для  проще. Таким образом, потенциал поля точечного заряда

(1.24)

Отсутствие в этом выражении аддитивной константы означает, что мы условно полагаем потенциал на бесконечности (r) равным нулю.

Потенциал поля системы зарядов. Пусть система состоит из неподвижных точечных зарядов q₁, q₂,... Согласно принципу суперпозиции в любой точке поля напряженность Е = Е₁ + Е₂ + ..., где E₁ – напряженность поля заряда q_l и т. д. Тогда можно записать, используя формулу (1.23):

,

где т. е. принцип суперпозиции оказывается справедливым и для потенциала. Таким образом, потенциал системы неподвижных точечных зарядов

, (1.25)

где r_i – расстояние от точечного заряда q_i до интересующей нас точки поля. Здесь также произвольная постоянная опущена. Это полностью соответствует тому факту, что всякая реальная система зарядов ограничена в пространстве, поэтому ее потенциал на бесконечности можно принять равным нулю.

Если заряды, образующие систему, распределены непрерывно, то, как обычно, мы считаем, что каждый элементарный объем dV содержит «точечный» заряд dV, где  – объемная плотность заряда в месте нахождения объема dV. С учетом этого формуле (1.25) можно придать иной вид:

, (1.26)

где интегрирование проводится или по всему пространству, или по той его части, которая содержит заряды. Если заряды расположены только на поверхности S, то

(1.27)

где  – поверхностная плотность заряда; dS – элемент поверхности S. Аналогичное выражение будет и в том случае, когда заряды распределены линейно.

Итак, зная распределение зарядов (дискретное, непрерывное), мы можем в принципе найти потенциал поля любой системы.