7.5. Резистор, конденсатор и катушка индуктивности в цепи переменного тока

Займемся более детальным рассмотрением процессов, которые происходят в цепи, подключенной к источнику переменного напряжения.

Случай резистора. Пусть цепь состоит из проводников с малой индуктивностью и большим сопротивлением R (из резисторов). Например, такой цепью может быть нить накаливания электрической лампы и подводящие провода. Величину R, которую мы до сих пор называли электрическим сопротивлением или просто сопротивлением, теперь будем называть активным сопротивлением. В цепи переменного тока могут быть и другие сопротивления, зависящие от индуктивности цепи и ее емкости. Сопротивление R называется активным потому, что только на нем выделяется энергия.

Итак, в цепи имеется резистор, активное сопротивление которого R, а катушка индуктивности и конденсатор отсутствуют.

Напряжение на концах резистора меняется по гармоническому закону . Как и в случае постоянного тока, мгновенное значение силы тока прямо пропорционально мгновенному значению напряжения. Поэтому можно считать, что мгновенное значение силы тока определяется законом Ома:

Рисунок 7.8

(7.32)

Следовательно, в проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока по фазе совпадают с колебаниями напряжения (рис. 7.8), а амплитуда силы тока равна амплитуде напряжения, деленной на сопротивление:

. (7.33)

Действующие значения силы тока и напряжения связаны таким же соотношением:

. (7.34)

Случай конденсатора. Постоянный ток не может существовать в цепи, содержащей конденсатор. Цепь при этом оказывается разомкнутой, так как обкладки конденсатора разделены слоем диэлектрика. Переменный ток способен течь в цепи, содержащей конденсатор. В этом можно убедиться с помощью лампы накаливания, включённой в цепь.

Как же переменный ток может течь по разомкнутой цепи? Здесь происходит периодическая перезарядка конденсатора под действием переменного напряжения. Ток, текущий при перезарядке, нагревает нить лампы.

Найдем, как меняется со временем сила тока в цепи, содержащей только конденсатор, если сопротивлением проводников и обкладок конденсатора можно пренебречь.

Напряжение на конденсаторе согласно (2.5): равно напряжению на зажимах цепи. Следовательно,

.

Заряд конденсатора меняется по гармоническому закону:

.

Сила тока представляет собой производную заряда по времени. Если заряд q в формуле − это заряд той пластины конденсатора, которая встречается первой при выбранном направлении обхода контура, то

Рисунок 7.9

(7.35)

Следовательно, колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на /2 (рис. 7.9). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того как напряжение достигает максимума, сила тока становится равной нулю и т. д.

Амплитуда силы тока равна:

. (7.36)

Если ввести обозначение

(7.37)

и вместо амплитуд силы тока и напряжения использовать их действующие значения, то получим

(7.38)

Величину Х_С, называют емкостным сопротивлением. Роль этой величины подобна роли активного сопротивления R в законе Ома (3.7). Действующее значение силы тока связано с действующим значением напряжения на конденсаторе точно так же, как связаны согласно закону Ома сила тока и напряжение на участке цепи постоянного тока. Это и позволяет рассматривать величину Х_С как сопротивление конденсатора переменному току − емкостное сопротивление. Оно уменьшается с увеличением емкости и увеличением частоты.

Случай индуктивности. Индуктивность влияет на силу переменного тока в цепи. Это можно обнаружить с помощью простого опыта. Если составить цепь из катушки большой индуктивности и лампы накаливания. Присоединяя эту цепь либо к источнику постоянного напряжения, либо к источнику переменного напряжения одинакового значения мы увидим, что лампа светится ярче при постоянном напряжении. Следовательно, действующее значение силы тока в рассматриваемой цепи меньше силы постоянного тока.

Объясняется это самоиндукцией (см. п. 6.3). При подключении катушки к источнику постоянного напряжения сила тока в цепи нарастает постепенно. Возникающее при нарастании силы тока вихревое электрическое поле тормозит движение электронов. Лишь спустя некоторое время сила тока достигает наибольшего (установившегося) значения, соответствующего данному постоянному напряжению.

Если напряжение быстро меняется, то сила тока не будет успевать достигать тех установившихся значений, которые она приобрела бы с течением времени при постоянном напряжении, равном максимальному значению переменного напряжения. Следовательно, максимальное значение силы переменного тока (его амплитуда) ограничивается индуктивностью L цепи и будет тем меньше, чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения.

Определим силу тока в цепи, содержащей катушку, активным сопротивлением которой можно пренебречь. Для этого предварительно найдем связь между напряжением на катушке и э.д.с. самоиндукции в ней.

Если сопротивление катушки равно нулю, то и напряженность электрического поля внутри проводника в любой момент времени должна равняться нулю. Иначе сила тока согласно закону Ома была бы бесконечно большой. Равенство нулю напряженности поля оказывается возможным потому, что напряженность вихревого электрического поля порождаемого переменным магнитным полем в каждой точке, равна по модулю и противоположна по направлению напряженности кулоновского поля, создаваемого в проводнике зарядами, движущимися на его поверхности.

Из этого равенства следует равенство по модулю и противоположность по знаку работ сил данных полей при перемещении единичного положительного заряда. Учитывая, что работа кулоновского поля численно равна напряжению и на концах катушки, можно записать:

, (7.39)

где _и – э.д.с. самоиндукции, как работа сил вихревого поля.

При изменении силы тока по гармоническому закону э.д.с. самоиндукции равна:

. (7.40)

Тогда напряжение на концах катушки оказывается равным

, 7.41)

г де − амплитуда напряжения.

Следовательно, колебания напряжения на катушке индуктивности опережают колебания силы тока на /2.

Рисунок 7.10

В момент, когда напряжение на катушке достигает максимума, сила тока равна нулю (рис. 7.10). В момент, когда напряжение становится равным нулю, сила тока максимальна по модулю.

Амплитуда силы тока в катушке равна:

. (7.42)

Если ввести обозначение

(7.43)

и вместо амплитуд силы тока и напряжения использовать их действующие значения, то получим

. (7.44)

Величину X_L, равную произведению циклической частоты на индуктивность, называют индуктивным сопротивлением.

Согласно формуле (7.44) действующее значение силы тока связано с действующим значением напряжения и индуктивным сопротивлением соотношением, подобным закону Ома для цепи постоянного тока.

Индуктивное сопротивление зависит от частоты. Постоянный ток вообще «не замечает» индуктивности катушки. При  = 0 индуктивное сопротивление равно нулю (X_L = 0). Чем быстрее меняется напряжение, тем больше амплитуда э.д.с. самоиндукции (см. 7.40) и тем меньше амплитуда силы тока.