7.4. Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре. Формула Томсона. Переменный ток

Основное уравнение для процессов в колебательном контуре можно записать, используя обобщенный закон Ома в локальной форме (3.10). Для этого в колебательный контур (см. рис. 7.4) необходимо ввести резистор сопротивлением R, чтобы он содержал все три основных элемента: С, L и R.

Опуская вывод уравнения, его окончательный вид можно записать в следующей форме:

. (7.19)

Это будет основное уравнение для процессов в колебательном контуре, которое описывает свободные затухающие колебания заряда.

Формула Томсона. Решение уравнения (7.19) в общем случае, т. е. нахождение зависимости заряда и силы тока от времени, слишком сложно. Мы ограничимся случаем, когда резистор в контуре отсутствует и членом можно пренебречь. Тогда уравнение (7.19) упрощается и его можно записать в виде

. (7.20)

Теперь, наконец, вы в полной мере сможете оценить те усилия, которые были затрачены для изучения колебаний груза на пружине и математического маятника. Ведь уравнение (7.20) ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения (7.4), описывающего колебания груза на пружине.

Но уравнение (7.4) или эквивалентное ему уравнение (7.7) нами уже решено. Поэтому, зная, как колеблется груз, мы сразу можем сказать, как происходят колебания в контуре.

Разделив правую и левую части уравнения (7.20) на L и введя обозначение

, (7.21)

будем иметь

. (7.22)

А это то же самое, что и уравнение (7.7). В уравнении (7.7) ₀  циклическая частота колебаний. Значит, и величина ₀, определяемая выражением (7.21), тоже является частотой колебаний, но теперь уже частотой электрических колебаний (заряда, силы тока и других величин). Период свободных колебаний в контуре равен:

. (7.23)

Это и есть формула Томсона.

Конечно, и без каких-либо уравнений мы могли бы сообразить, что период Т должен увеличиваться с ростом индуктивности L и емкости С. Действительно, при увеличении L сила тока медленнее нарастает со временем и медленнее падает до нуля. А чем больше емкость, тем большее время требуется для перезарядки конденсатора. Но получить формулу (7.23) строго без уравнения (7.22) мы бы не смогли.

Гармонические колебания заряда и силы тока. Подобно тому, как координата при механических колебаниях меняется по гармоническому закону, точно также заряд конденсатора меняется по закону синуса или косинуса:

или (7.24)

Здесь q_m − амплитуда колебаний заряда, a ₀ − начальная фаза колебаний. Эти величины определяются начальными условиями, т. е. значениями заряда и силы тока в начальный момент времени: q(0) = q₀ и i(0) = i₀.

Если в начальный момент времени q(0) = q₀ и i(0) = 0, то колебания совершаются по закону косинуса (как в п.7.3 после замыкания цепи предварительно заряженного конденсатора) с нулевой начальной фазой и амплитудой q_m = q₀:

. (7.25)

Точно так же изменяется координата груза на пружине, если вы вывели груз из положения равновесия и не сообщили ему начальной скорости.

Сила тока также совершает гармонические колебания. Если , то

, (7.26)

где I_m = ₀q_m − амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока смещены по фазе относительно колебаний заряда на /2. При начальных условиях q(0) = q₀ и i(0) = 0

. (7.27)

К олебания заряда и силы тока для этого случая графически представлены на рисунке 7.6.

В действительности из-за энергетических потерь колебания будут затухающими.

Рисунок 7.6

Чем больше сопротивление R, тем больше будет период колебаний. При достаточно большом сопротивлении колебания не возникают. Конденсатор разрядится, но перезарядки не произойдет.

Переменный ток. Электрический ток, изменяющийся с течением времени, называется переменным электрическим током.

Если напряжение на концах цепи меняется по гармоническому закону, то напряженность электрического поля внутри проводников, созданного поверхностными зарядами, будет также меняться гармонически. Эти гармонические изменения напряженности поля вызовут гармонические колебания скорости упорядоченного движения заряженных частиц и, следовательно, гармонические колебания силы тока.

Правда, при изменении напряжения на концах цепи электрическое поле не меняется мгновенно во всей цепи. Изменения поля распространяются хотя и с очень большой, но не бесконечно большой скоростью.

Однако, если время распространения изменения поля в цепи много меньше периода Т колебаний напряжения, можно считать, что электрическое поле во всей цепи сразу же меняется при изменении напряжения на концах цепи. При этом сила тока в данный момент времени имеет практически одно и то же значение во всех сечениях неразветвленной цепи.

Если принять, что электрические колебания происходят в цепи под действием синусоидального напряжения частоты , то и сила тока в цепи будет меняться с той же частотой, но не обязательно должна совпадать по фазе. Поэтому в общем случае

, (7.28)

где _с − разность (сдвиг) фаз между колебаниями силы тока и напряжения.

Действующее значение силы тока и напряжения. Как и при механических колебаниях, в случае электрических колебаний нас не интересуют значения силы тока, напряжения и заряда в каждый момент времени (мгновенные значения). Важны общие характеристики колебаний, такие, как амплитуда, частота, сдвиг фаз, а также средние по времени значения силы тока, напряжения, мощности и других величин.

Выясним вначале, чему равно среднее за период Т значение силы тока. В течение половины периода сила тока положительна, а во время другой половины периода отрицательна. Если разбить весь интервал времени Т на очень малые отрезки, то положительному значению силы тока на любом малом отрезке первой половины периода будет отвечать такое же отрицательное значение на соответствующем отрезке второй половины периода. Поэтому среднее за период значение силы тока равно нулю:

. (7.29)

Рисунок 14

М ощность в цепи постоянного тока на участке сопротивлением R определяется квадратом силы тока. В случае же переменного тока она определяется средним значением квадрата силы тока. Среднее значение квадрата силы тока за период уже не равно нулю, так как квадрат силы тока на протяжении всего периода положителен (рис. 7.7).

Так как , то .

Величина постоянна. Среднее за период значение равно нулю, так же как и среднее значение . Следовательно, среднее значение квадрата силы тока .

Действующим значением I силы переменного тока называют квадратный корень из среднего квадрата силы тока:

(7.30)

Действующее значение напряжения определяется аналогично:

(7.31)

Конечно, можно было бы характеризовать силу тока и напряжение амплитудами, а не действующими значениями. Но действующие значения значительно удобнее в том смысле, что именно они непосредственно определяют мощность переменного тока в цепи.

Действующее значение силы переменного тока равно силе постоянного тока, выделяющего в цепи такое же количество теплоты, что и переменный ток за то же время.