7.2. Гармонические колебания

Зная, как связаны между собой ускорение и координата колеблющегося тела, можно найти зависимость координаты от времени.

Мгновенная скорость, как известно из курса математики, представляет собой производную координаты по времени. Ускорение − это производная скорости по времени, или вторая производная координаты по времени. Поэтому уравнение (7.6), описывающее колебания груза на пружине, можно записать так:

, (7.7)

где − вторая производная координаты по времени. Согласно уравнению (7.7) при свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.

Из курса математики известно, что функции синус и косинус обладают тем свойством, что вторая производная функции пропорциональна самой функции, взятой с противоположным знаком. Можно доказать, что никакие другие функции этим свойством не обладают. Значит, координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или косинус. Когда тело совершает колебания, его движения периодически повторяются. Поэтому неудивительно, что изменение со временем координаты тела выражается через периодические функции синус или косинус.

Периодические изменения физической величины в зависимости от времени по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебаниями.

Амплитуда колебаний. Важной характеристикой колебательного движения является амплитуда.

Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.

Амплитуда может иметь различные значения в зависимости от того, насколько мы смещаем тело от положения равновесия в начальный момент времени, и от того, какая скорость сообщается при этом телу. Амплитуда определяется начальными условиями. Но максимальные значения модуля синуса и косинуса равны единице. Поэтому решение уравнения (7.7) не может просто выражаться косинусом или синусом. Оно должно иметь вид произведения амплитуды х_m на синус или косинус.

Решение уравнения движения, описывающего свободные колебания. Какую же форму имеет решение уравнения (7.7.)? Нельзя просто считать, что х = х_m sin t или х = х_m cos t, так как в этом случае вместо получилось бы равенство х" = −х_m sin t = −х.

Но небольшое усложнение формы решения сразу приведет нас к цели. Чтобы в выражении второй производной был множитель , запишем решение уравнения (7.7) в следующем виде:

(7.8)

В этом случае первая производная (скорость) принимает вид:

,

а вторая производная (ускорение) равна:

.

Рисунок 7.2

М ы в точности получили уравнение (7.7). Следовательно, функция (7.8) есть решение исходного уравнения. Конечно, решением исходного уравнения будет также функция:

.

График зависимости координаты тела от времени согласно выражению (7.8) представляет собой синусоиду, изображенную на рисунке 7.2.

Но выражение (7.8) − это еще не самое общее решение уравнения (7.7). Нетрудно убедиться, что решением уравнения (7.7) будет также синус или косинус, если к их аргументу добавить произвольную постоянную величину ₀.

, (7.9)

Постоянная величина ₀ не определяется уравнением (7.7). В дальнейшем мы покажем, что подобно амплитуде колебаний она определяется начальными условиями. Функция

, (7.10)

также является решением уравнения (7.7).

Периода, частоты и фаза колебаний свободных колебаний, зависят от свойств системы. Собственная частота колебаний груза на пружине согласно выражению (7.5) равна:

. (7.11)

Она тем больше, чем больше жесткость пружины, и тем меньше, чем больше масса тела. Это понятно: более жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, т. е. быстрее меняет его скорость и, следовательно, уменьшает время одного колебания. А чем массивнее тело, тем медленнее оно изменяет скорость под действием данной силы.

Период колебаний равен:

. (7.12)

Располагая набором пружин различной жесткости и телами разной массы, нетрудно убедиться, что формулы (7.11) и (7.12) правильно описывают характер зависимости ₀ и Т от k и m.

Собственная частота колебаний математического маятника (шарик, подвешенный на нити длиной l) при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины нити и ускорения свободного падения g так:

. (7.13)

Период колебаний равен:

. (7.14)

Эта формула была впервые получена голландским ученым X. Гюйгенсом, современником Ньютона.

Напомним в заключение, что период колебаний груза на пружине и период колебаний маятника при малых углах отклонения не зависят от амплитуды колебаний (изохронность колебаний). Поскольку при малых углах колебания совершаются по гармоническому закону. Если углы отклонения нити от вертикали не малы, то ускорение уже не будет пропорциональным смещению. Поэтому колебания приобретают более сложный характер, и период колебаний начинает зависеть от амплитуды.

Фаза колебаний при заданной амплитуде гармонических колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом синуса или косинуса, равным

. (7.15)

Выражается фаза в угловых единицах − радианах или градусах. Фаза определяет не только координаты, но и другие физические величины, например скорости и ускорения, изменяющиеся по гармоническому закону.

В начальный момент времени t = 0 фаза  имеет значение ₀. Это значение фазы называется начальной фазой.

Рисунок 7.3

Д ва или несколько гармонических колебаний с одинаковыми частотами и амплитудами могут отличаться друг от друга только начальными фазами. Между колебаниями имеется разность фаз, или, как часто говорят, сдвиг фаз _с. Если начальная фаза первого колебания равна ₀₁, а второго ₀₂, то сдвиг фаз второго колебания относительно первого равен:

. (7.16)

На рисунке 7.3 изображены графики колебаний, сдвинутых по фазе на /2. График 1 соответствует колебаниям, совершающимся по синусоидальному закону с начальной фазой, равной нулю (₀₁= 0):

График 2 соответствует колебаниям, сдвинутым по фазе на /2:

Здесь начальная фаза ₀₂ = /2. Так как то

_.

Таким образом, колебания, описываемые синусом и косинусом, представляют собой колебания со сдвигом фаз /2.