Глава 7. Колебания. Переменный электрический ток

7.1. Классификация колебаний. Уравнение колебаний груза на пружине

Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени, повторяющиеся во времени.

В зависимости от физической природы колебательного процесса и «механизма» его возбуждения различают: механические колебания (колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, зданий, мостов и других сооружений, давления воздуха при распространении в нем звука, качка корабля, волнение моря и т. п.); электромагнитные (колебания переменного электрического тока в цепи, колебания векторов Е и В электрической напряженности и магнитной индукции переменного электромагнитного поля и т. д.); электромеханические (колебания мембраны телефона, диффузора электродинамического громкоговорителя и т. п.) и др.

Система, совершающая колебания, называется колебательной.

Свободными (собственными) колебаниями называются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия. Такие колебания совершает груз, подвешенный на пружине, шарик на нити (маятник) и др.

В таких системах необходимо выполнение двух условий. Во-первых, при выведении тела из положения равновесия должна возникать сила, возвращающая его в положение равновесия. Во-вторых, трение в системе должно быть достаточно мало, иначе колебания быстро затухнут или даже не возникнут.

Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.

Примерами вынужденных колебаний могут служить колебания силы тока в электрической цепи, вызываемые переменной э.д.с.; колебания маятника, вызываемые переменной внешней силой.

Наиболее сложным видом колебаний являются автоколебания. Автоколебаниями называются незатухающие колебания, которые могут существовать в системе без воздействия на нее внешних периодических сил. Для этого система должна обладать собственным источником энергии. За счет энергии источника колебания не затухают, несмотря на действие сил трения. Наиболее известной автоколебательной системой являются часы с маятником или балансиром.

Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени.

Наименьший промежуток времени Т, удовлетворяющий этому условию, называется периодом колебаний. За период колебаний Т система совершает одно полное колебание. Частотой периодических колебаний называется величина f = 1/Т, равная числу полных колебаний, совершающихся за единицу времени. Циклической (круговой) частотой периодических колебаний называется величина , равная числу полных колебаний, совершающихся на 2 единиц времени. В электротехнике называют угловой частотой.

При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины x от времени t удовлетворяет условию x(t+T)=x(t).

У равнение колебаний груза на пружине. Для того чтобы описать колебания тела, например груза на пружине или шарика на нити, количественно, нужно воспользоваться законами механики Ньютона.

Второй закон Ньютона (F=ma) непосредственно описывает движение тела, размеры которого не оказывают существенного влияния на характер движения. В таком случае тело можно считать материальной точкой с массой m, движущейся под действием силы F с ускорением а.

Рисунок 7.1

Запишем уравнение движения для груза на пружине. На груз действует сила упругости F_у и сила тяжести F = mg. Действием трения пренебрежем. Направим ось X вертикально вниз (рис. 1.7). Начало отсчета (точку О) выберем на уровне положения равновесия. В положении равновесия пружина растянута на величину х₀, значение которой определяется из закона Гука: kx₀ = mg, где k − жесткость пружины, m − масса груза, a g − ускорение свободного падения. Отсюда

. (7.1)

Проекция силы упругости на ось X

, (7.2)

где х − координата груза относительно положения равновесия. Величина x₀ + х представляет собой удлинение пружины

Уравнение движения груза в проекции на ось X имеет вид:

. (7.3)

Подставляя в это уравнение значение x₀ из выражения (7.1), получим окончательно:

. (7.4)

Уравнение движения не содержит силы тяжести. Сила тяжести, действуя на груз, вызывает растяжение пружины на постоянную величину. Но это не влияет на характер движения груза. Просто колебания происходят относительно положения равновесия тела при растянутой на x₀ пружине. В отсутствие тяготения уравнение движения (7.4) имело бы точно такую же форму, но только колебания происходили бы относительно конца нерастянутой пружины. Наличие силы тяжести несущественно для колебаний груза на пружине в отличие от колебаний маятника.

Масса m и жесткость пружины k − постоянные величины. Разделив левую и правую части уравнения (7.4) на m и введя новое обозначение

, (7.5)

получим:

. (7.6)

Это уравнение колебаний груза на пружине. Оно очень простое: ускорение груза прямо пропорционально его координате х, взятой с противоположным знаком. Самым замечательным является то, что такие же (с точностью до обозначений) уравнения описывают свободные колебания самых различных систем, в частности колебания математического маятника.

Постоянная ₀ имеет важный физический смысл. Как мы впоследствии увидим, − это циклическая частота колебаний груза. Она выражается в секундах в минус первой степени.