5.5. Магнитный поток. Основные законы магнитного поля

Магнитное поле, как и электрическое поле, обладает двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основные законы магнитного поля.

Магнитным потоком (потоком вектора В магнитной индукции) сквозь малую поверхность площадью dS называется физическая величина

, (5.11)

где по аналогии с (1.14) dS = ndS; n − единичный вектор нормали к площадке dS; В_п − проекция вектора В на направление нормали (см. рис.1.4). Малая площадка dS выбирается так, чтобы ее можно было считать плоской, а магнитное поле в ее пределах однородным. Магнитный поток сквозь произвольную поверхность S

.

Если магнитное поле однородно, а поверхность S плоская, то

.

А теперь обратимся к основным законам магнитного поля − теореме Гаусса и теореме о циркуляции.

Теорема Гаусса для поля В. Поток вектора В сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

. (5.12)

Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой тот экспериментальный факт, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий вектора В, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.

О тсюда вытекает важное следствие, а именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора В: так как они нигде не прерываются, то их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора В), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.

Рисунок 5.12

Закон (5.12) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора В. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.

Теорема о циркуляции вектора В (для магнитного поля постоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произвольному контуру Г равна произведению ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром Г:

, (5. 13)

где , причем I_k − величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 5.12: здесь токи I₁ и I₃ положительные, ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта, а ток I₂ − отрицательный.

Еще одно замечание. Если ток I в (5.13) распределен по объему, где расположен контур Г, то его можно представить в виде (3.3):

.

Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Г. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.

Тогда, в общем случае уравнение (5. 13) можно записать так:

(5. 14)

Тот факт, что циркуляция вектора В, вообще говоря, не равна нулю, означает, что поле В не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным.

Так как циркуляция вектора В пропорциональна току I, охватываемому контуром, то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором В соотношением, аналогичным (1.30): . Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное ₀ I.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля В.

Пример 1. Магнитное поле прямого тока. Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом а. Найдем индукцию В поля снаружи и внутри провода.

Из симметрии задачи следует, что силовые линии вектора В в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода. Причем модуль вектора В должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора В для круглого контура Г₁ (рис. 5.13): B∙2r = ₀I, откуда следует, что вне провода

Рисунок 5.13

, (r ≥ a) (5.15)

Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора В являются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора В для круглого контура Г₂ (см. рис. 5.13) B∙2r = ₀I_r, где ток, охватываемый данным контуром. Отсюда мы находим, что внутри провода

, (r  a) (5.16)

Рисунок 5.14

График зависимости В(r) показана на рис. 5.14. Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция В определяется формулой (5.15), а внутри − магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора В.