5.3. Движение электронов в магнитном поле

Сила, действующая на движущийся электрон в магнитном поле, согласно (5.2) пропорциональна величине векторного произведения вектора скорости электрона и вектора магнитной индукции поля

(5.5)

Откуда, из свойств векторного произведения следует, что магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна векторам v и B, и образует с ними правую тройку векторов. Следовательно, магнитное поле не совершает работы, а лишь искривляет траекторию движения частицы, не меняя ее энергии. В самом деле, работа W, производимая силой в единицу времени, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, тогда с учетом (5.5) можно записать работу как смешанное – векторно-скалярное произведение векторов и преобразовать выражение с учетом его свойств в виде:

.

Поскольку векторное произведение вектора v на себя равно нулю (=0) согласно (5.3).

Аналогично (1.33) в случае электростатического поля для магнитного поля можем записать аналогичное векторное соотношение

(5.6)

Находя выражения для проекций векторного произведения, получим уравнения движения электронов в декартовой системе координат аналогично (1.33ˊ). Анализ системы подтверждает важный практический вывод о том, что в магнитном поле величина скорости, а следовательно, и энергии электрона остается неизменной, меняется только его направление движения.

Рисунок 5.6

П рактически интересен случай движения электрона в однородном поперечном (v  B) магнитном поле. Действительно, пусть электрон движется в постоянном магнитном поле под некоторым углом к вектору индукции поля (рис. 5.6). Тогда его скорость можно изложить на составляющие: v_ − параллельную вектору индукции поля и v_ − перпендикулярную ей. Помня выражение для модуля векторного произведения (см. 5.3) можно утверждать, что в создании лоренцевой силы участвует только составляющая v_. При этом действие силы приводит к изменению направления перпендикулярной составляющей скорости v_ без изменения ее величины. В этом случае сила Лоренца является центростремительной, а электрон описывает в плоскости перпендикулярной направлению поля окружность радиуса R (рис. 5.7). Составляющая v_ при этом остается неизменной по величине и направлению.

Рисунок 5.7

Таким образом, в постоянном магнитном поле, электрон под действие магнитной составляющей лоренцевой силы движется по винтовой линии с постоянной по величине скоростью v. При этом его движение складывается из равномерного прямолинейного движения вдоль направления поля – вектора В (со скоростью v_) и равномерного вращательного движения в плоскости перпендикулярной В (со скоростью v_). Результатом сложения данных движений является винтовая линия в пространстве, ось которой совпадает с направлением В.

Из скалярного соотношения , где  центростремительное ускорение вращательного движения электрона, можно определить радиус винтовой линии:

. (5.7)

Зная величину радиуса окружности вращения электрона в плоскости перпендикулярной направлению В, можно определить угол  отклонения электрона поперечным магнитным полем протяженностью z (см. рис. 5.7). Для малых углов будем иметь:

. (5.8)

Величина угла отклонения электрона поперечным магнитным полем пропорциональна магнитной индукции поля и его протяженности, и обратно пропорциональна скорости электрона.

Период спирали определяется временем прохождения электроном полной окружности

(5.9)

При этом круговая частота вращения электрона

. (5.10)