3.4. Закон Джоуля−Ленца
С прохождением тока через проводник, обладающий сопротивлением, неразрывно связано выделение теплоты (нагревание проводников). Наша задача − найти количество теплоты, выделяющееся за единицу времени на определенном участке цепи. Здесь мы и рассмотрим однородный участок цепи. В основу решения этого вопроса мы возьмем закон сохранения энергии и закон Ома.
Рисунок
3.3
Если сила тока в проводнике равна I, то за время dt через каждое сечение проводника пройдет заряд dq = I dt. В частности, такой заряд dq войдет внутрь участка через сечение 1 и такой же заряд выйдет из этого участка через сечение 2. Так как распределение зарядов в проводнике остается при этом неизменным (ток постоянный), то весь процесс эквивалентен непосредственному переносу заряда dq от сечения 1 к сечению 2, имеющих потенциалы 1 и 2.
Поэтому совершаемая при таком переносе работа сил поля
.
Согласно закону сохранения энергии эквивалентная этой работе энергия должна выделяться в иной форме. Если проводник неподвижен (нет механических действий) и в нем не происходят химические превращения, то эта энергия должна выделяться в форме внутренней (тепловой) энергии, в результате чего проводник нагревается. Механизм этого превращения достаточно прост: носители тока (например, электроны в металлах) в результате работы сил поля приобретают дополнительную кинетическую энергию и затем расходуют ее на возбуждение колебаний решетки при столкновении с ее узлами-ионами.
Итак,
согласно закону сохранения энергии
элементарная работа
,
где
−
теплота, выделяемая в единицу времени
(тепловая мощность). Из сравнения
последнего равенства с предыдущим
получаем
.
А
так как по закону Ома
,
то
(3.14)
Эта формула выражает известный закон Джоуля−Ленца.
Получим выражение этого закона в локальной форме, характеризующей выделение теплоты в различных местах проводящей среды. Для этой цели выделим в данной среде элементарный объем в виде цилиндрика с образующими, параллельными вектору j − плотности тока в данном месте. Пусть поперечное сечение цилиндрика dS, а его длина dl. Тогда на основании закона Джоуля−Ленца в этом объеме за время dt выделяется количество теплоты
,
где dV = dS dl − объем цилиндрика. Разделив последнее уравнение на dV dt, получим формулу, которая определяет количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема проводящей среды, − удельную тепловую мощность тока:
(3.15)
Эта формула выражает закон Джоуля-Ленца в локальной форме: удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности электрического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке.
Уравнение (3.15) представляет собой наиболее общую форму закона ДжоуляЛенца, применимую к любым проводникам вне зависимости от их формы, однородности и от природы сил, возбуждающих электрический ток.
3.5. Переходные процессы в цепи с конденсатором
О переходных процессах. Так называют процессы при переходе от одного установившегося в цепи режима к другому. Примером таких процессов является зарядка и разрядка конденсатора, на них мы и остановимся более подробно в этом параграфе.
До сих пор мы рассматривали только постоянные токи. Оказывается, однако, что полученные законы во многих случаях можно применять и к изменяющимся токам. Это касается всех тех случаев, когда изменение тока происходит не слишком быстро. В этих случаях мгновенное значение тока будет практически одно и то же во всех поперечных сечениях цепи. Такие токи и соответствующие им поля называют квазистационарными.
Именно квазистационарные токи можно описывать законами постоянного тока, если только их применять к мгновенным значениям величин. Рассмотрим процессы разрядки и зарядки конденсатора, предполагая токи квазистационарными.
Разрядка конденсатора. Если обкладки заряженного конденсатора емкости С замкнуть через сопротивление R, то через него потечет ток. Пусть I, q, U − мгновенные значения тока, заряда положительной обкладки и разности потенциалов между обкладками (напряжения).
Считая
ток I
положительным, когда он течет от
положительной обкладки к отрицательной
(рис. 3.4), запишем I = −dq/dt.
Согласно закону Ома для внешнего
участка цепи, содержащего сопротивление
R:
Учитывая, что I = −dq/dt и U = q/C, преобразуем предыдущее уравнение к виду
Рисунок
3.5
. (3.16)
В этом дифференциальном уравнении переменные разделяются, и после интегрирования мы получим
, (3.17)
где q0 − начальный заряд конденсатора, а − постоянная, имеющая размерность времени:
. (3.18)
Эту постоянную называют временем релаксации. Из (3.17) видно, что есть время, за которое заряд конденсатора уменьшается в е раз.
Рисунок
3.6
, (3.19)
где
− сила тока в момент
t =
0.
На рис. 3.5 показан график зависимости q(t) − заряда на конденсаторе от времени. График зависимости I(t) имеет такой же вид.
Зарядка конденсатора. Рассмотрим цепь, содержащую последовательно соединенные конденсатор С, сопротивление R и источник э.д.с. (рис. 3.6). Первоначально конденсатор не заряжен (ключ К разомкнут). В момент t = 0 ключ замкнули, и в цепи пошел ток, заряжающий конденсатор. Увеличивающиеся заряды на обкладках конденсатора будут все в большей степени препятствовать прохождению тока, постепенно уменьшая его.
Рисунок
3.7
,
где под R понимается полное сопротивление этого участка, включая внутреннее сопротивление источника э.д.с. Учитывая, что I = dq/dt и 2−1 = U = q/C, перепишем предыдущее уравнение в виде
.
Разделение переменных дает
.
Проинтегрировав это уравнение с учетом начального условия (q = 0 при t = 0), получим
,
откуда
Рисунок
3.8
. (3.20)
Здесь qm − предельное значение заряда на конденсаторе (при t), = RC. Закон изменения тока со временем
, (3.21)
где I0 = /R. Графики зависимостей q(t) и I(t) показаны на рис. 3.7.