3.2. Закон Ома для однородного проводника

Закон Ома, открытый экспериментально, гласит: сила тока, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна разности потенциалов на его концах (напряжению U):

, (3.7)

где R − электрическое сопротивление проводника.

Единицей сопротивления служит ом (Ом).

Рисунок 4.1

На рисунке 3.1 изображен участок цепи 1, 2. Напряжение на участке равно разности потенциалов точек: . Если ₁ >₂, то U > 0, и ток течет в направлении от точки 1 к точке 2, так как в эту сторону направлены линии напряженности электрического поля внутри проводника. Следовательно, I > 0.

Сопротивление R зависит от формы и размеров проводника, от его материала и температуры, а также − это следует помнить − от конфигурации (распределения) тока по проводнику. В случае провода смысл сопротивления не вызывает сомнений. В более общем случае объемного распределения тока уже нельзя говорить о сопротивлении, пока не указаны или расположение подводящих к интересующему нас проводнику проводов, или конфигурация тока.

В простейшем случае однородного цилиндрического проводника сопротивление

, (3.8)

где l − длина проводника; S − площадь его поперечного сечения;  − удельное электрическое сопротивление. Последнее зависит от материала проводника и его температуры. Выражают  в ом-метрах (Ом∙м).

Значения удельного электрического сопротивления для наиболее хороших проводников (медь, алюминий) составляют при комнатной температуре несколько единиц на 10⁻⁸ Ом∙м.

Закон Ома в локальной форме. Найдем связь между плотностью тока j и полем Е в одной и той же точке проводящей среды. Ограничимся случаем изотропного проводника, в котором направления данных векторов совпадают.

Выделим мысленно в окрестности некоторой точки проводящей среды элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными вектору j, а значит, и вектору Е. Если поперечное сечение цилиндра dS, а его длина dl, то на основании (3.7) − (3.8) можно записать для такого элементарного цилиндра

,

после соответствующих сокращений получим, уже в векторном виде

, (3.9)

где  = 1/ − удельная электропроводимость среды. Единицу, обратную ому, называют сименсом (См), поэтому единицей  является сименс на метр (См/м).

Таким образом, соотношение (3.9) устанавливает связь между величинами, относящимися к одной и той же точке проводящей среды. Именно поэтому и говорят, что соотношение (3.9) выражает локальный закон Ома.

О заряде внутри проводника с током. Если ток постоянный, то избыточный заряд внутри однородного проводника всюду равен нулю. В самом деле, для постоянного тока справедливо уравнение (3.5). Перепишем его с учетом закона (3.9) в виде

,

где интеграл взят по произвольной замкнутой поверхности S внутри проводника, а для однородного проводника величину  можно вынести из-под интеграла.

Оставшийся интеграл, согласно (1.16) − теореме Гаусса, пропорционален алгебраической сумме зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью S, т. е. пропорционален избыточному заряду внутри этой поверхности. Но из последнего равенства сразу видно, что этот интеграл равен нулю ( ≠ 0), а значит, равен нулю и избыточный заряд. В силу произвольности поверхности S мы заключаем, что избыточный заряд всюду внутри однородного проводника с током равен нулю.

Избыточный заряд может появиться только на поверхности однородного проводника, в местах соприкосновения с другими проводниками, а также там, где проводник имеет неоднородности.

Заметим, если токи стационарны, то распределение электрических зарядов в проводящей среде (вообще говоря, неоднородной) не меняется во времени, хотя и происходит движение зарядов: в каждой точке на место уходящих зарядов непрерывно поступают новые. Эти движущиеся заряды создают такое же кулоновское поле, что и неподвижные заряды той же конфигурации. Стало быть, электрическое поле стационарных токов − поле потенциальное.

Вместе с тем электрическое поле в случае стационарных токов существенно отличается от электростатического − кулоновского поля неподвижных зарядов. Последнее внутри проводников при равновесии зарядов равно нулю. Электрическое поле у стационарных токов есть также кулоновское поле, однако заряды, его вызывающие, находятся в движении. Поэтому поле Е у стационарных токов существует и внутри проводников с током.