2.3. Электрическая емкость уединенного проводника

Уединенным проводником называется проводник, который находится столь далеко от других тел, что влиянием их электрических полей можно пренебречь. Характер распределения зарядов по поверхности заряженного уединенного проводника, находящегося в однородной, изотропной диэлектрической среде, зависит только от формы поверхности проводника. Каждая новая порция зарядов, сообщаемых проводнику, распределяется по его поверхности подобно предыдущей. Поэтому поверхностная плотность зарядов  в каждой точке А поверхности проводника пропорциональна его общему заряду q:

, (2.2)

где k = k(х, у, z) − функция координат, точки А, зависящая от формы и размеров поверхности проводника S. Значения k больше в тех точках поверхности, где больше ее кривизна.

Потенциал заряженного уединенного проводника можно найти, пользуясь принципом суперпозиции электростатических полей на основе выражения (1.27). Если потенциал бесконечно удаленной точки принять равным нулю, то потенциал заряженного проводника, находящегося в однородном, изотропном диэлектрике с относительной диэлектрической проницаемостью , равен

(2.3)

Здесь r расстояние от малого элемента dS поверхности проводника до какой-либо фиксированной точки на поверхности проводника, в которой определяется потенциал  (выбор этой точки совершенно произволен, так как поверхность проводника эквипотенциальна, как, впрочем, и весь его объем), а интегрирование производится по всей поверхности проводника. Интеграл зависит только от формы и размеров проводника, так что потенциал  уединенного проводника пропорционален его заряду q:

, (2.3')

Величина С, численно равная отношению заряда q уединенного проводника к его потенциалу называется электрической емкостью (электроемкостью или просто емкостью) этого проводника:

, (2.4)

предполагается, что в бесконечно удаленной точке  = 0.

Электроемкость уединенного проводника зависит от его формы и размеров, причем при прочих равных условиях электроемкости геометрически подобных проводников пропорциональны их линейным размерам. Это связано с тем, что на геометрически подобных проводниках распределение зарядов тоже подобно, а расстояния от аналогичных участков поверхностей проводников до сходственных точек этих проводников пропорциональны их линейным размерам. Поэтому потенциалы одинаково заряженных и геометрически подобных проводников обратно пропорциональны их линейным размерам, а электроемкости этих проводников прямо пропорциональны им.

Электроемкость уединенного проводника зависит также от диэлектрических свойств окружающей его среды. Если среда однородна и изотропна, то, как видно из (2.3) электроемкость проводника пропорциональна относительной диэлектрической проницаемости среды.

Ни от материала проводника, ни от формы и размеров возможных полостей внутри проводника его электроемкость не зависит, так как свободные заряды находятся только на внешней поверхности проводника. Следует заметить, что С не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала, если окружающая среда не обладает сегнетоэлектрическими свойствами. Это совершенно не противоречит соотношению (2.4), так как оно эквивалентно (2.3') и, подобно ему, показывает, что потенциал уединенного проводника пропорционален его заряду и обратно пропорционален электроемкости.

Рисунок 2.4

П ример. Найдем электроемкость уединенного проводящего шара (или сферы) радиуса R, находящегося в однородной, изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью .

Если заряд шара равен q, то напряженность его поля вне шара, на расстояниях от его центра r  R, как показано в (2.1) равна . В силу равномерного распределения заряда по поверхности шара с площадью , поверхностная плотность заряда . Соответственно потенциал шара

Таким образом, электроемкость шара С = 4₀R.

За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Эту единицу емкости называют фарадом (Ф).

Фарад − очень большая величина: емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом 9 млн. км, что в 1500 раз больше радиуса Земли (емкость Земли С = 0,7 мФ). На практике чаще всего приходится встречаться с емкостями в интервале от 1 мкФ до 1 пФ (п – пико, 10⁻¹²).