Пример 1. Определение пределов генеральной средней и генеральной доли альтернативного признака.
Для изучения распределения работников бюджетной сферы по размерам заработной платы в городе проведено 10%- ное выборочное обследование. В результате учета 900 человек выявлено, что средняя зарплата работников составляет 32500 руб. со средним квадратическим отклонением 4200 руб. Из числа работающих 15% получают зарплату свыше 40 000 руб.
Требуется с вероятностью 0,954 определить пределы среднего размера заработка одного работника бюджетной сферы в городе и пределы доли работников, получающих свыше 40000 руб.
Решение.
В данном примере требуется определить пределы двух величин: среднего значения признака и доли жителей, получающих свыше 40000 руб.
Для исчисления пределов вначале следует рассчитать предельные ошибки выборочной средней и выборочной доли альтернативного признака.
Обозначим символами приведенные в условии цифровые данные.
Так как объем выборки – 10%, следовательно
;Учтено 900 человек, т.е. n= 900;
Средняя зарплата работника - 32500 руб., т.е.
;Среднее квадратическое отклонение – 4200, значит,
;
15% работающих получают свыше 40000, следовательно, доля альтернативного признака -
или 0,15;Вероятность расчетов F(t) – 0,954, следовательно, t = 2.
На первом этапе определим среднюю ошибку выборочной средней. Так как в условии не оговаривается, повторный или бесповторный отбор применялся при обследовании, по умолчанию предполагается бесповторный отбор. Объем выборки - 10%, следовательно, для расчета средней ошибки выборочной средней используем формулу:
Определим предельную ошибку выборочной средней, исходя из соотношения:
руб.
Пределы средней заработной платы работников госсектора определим по формуле:
Следовательно, с вероятностью 0,954 (т.е. в 954 случаях из 1000) мы можем утверждать, что средняя зарплата работников госсектора в городе будет не меньше чем 32234,4 руб. и не превысит 32765,6 руб.
На втором этапе определим ошибку доли альтернативного признака.
Начнем с расчета средней ошибки на основе формулы:
Предельная ошибка доли альтернативного признака при вероятности расчетов 0,954 определим, исходя их формулы:
Пределы доли работников госсектора, получающих зарплату свыше 40000 руб., в генеральной совокупности находятся по формуле:
Или,
если перевести результаты в процентные
соотношения,
.
Следовательно, доля работников госсектора, получающих зарплату свыше 40000 руб., колеблется от 12,74% до 17,26%, что можно утверждать с вероятностью 0,954.
Пример 2. Определение оптимальной численности выборки при расчете доли альтернативного признака
В банке проводится анализ наличия потенциальных кредитных ресурсов. Для этого требуется определить, сколько депозитов из 12500 должно попасть в выборку. Предыдущее обследование показало, что доля невостребованных в срок депозитов составила 27% от их общего числа. Обследование предполагает, что предельная ошибка доли невостребованных депозитов не должна превышать 3%, а вероятность расчетов должна быть не менее 0,997.
Решение. определим, какие данные имеются в условии:
N = 12500;
w = 27%, или 0,27;
Δw = 3%, или 0,03;
Вероятность расчетов F(t) – 0,997, следовательно, t = 3.
Т.к. подобные обследования не предполагают повторного отбора, расчет оптимальной численности следует производить по формуле :
Следовательно, в банке достаточно обследовать 1703 депозита, или 13,6% от их общего числа (1703:12500 · 100 = 13,6%), чтобы определить объем потенциальных кредитных ресурсов.