Индексы средних величин
Помимо агрегатных индексов в статистике используются индексы средние из индивидуальных. Для определения среднего индекса из индивидуальных используют формулы средней арифметической взвешенной и средней гармонической взвешенной.
Средние индексы получают путем преобразования агрегатного индекса Пааше или Ласпейреса.
Средний арифметический индекс получается в том случае, когда производят преобразования индекса Ласпейреса. К данной форме индекса следует прибегать в тех случаях, когда есть данные об индивидуальных индексах индексируемой величины.
(69)
так как из формулы индивидуального индекса (50) следует, что
(70)
Как
видно из формулы (69), весами среднего
арифметического индекса выступает
обобщающий показатель, зафиксированный
на уровне отчетного периода
.
Средний
гармонический индекс
используется тогда, когда известен
уровень обобщающего явления в отчетном
периоде
и получается путем преобразования в
средний агрегатного индекса Пааше,
исходя из того, что
(71).
Тогда, формула (53) преобразуется следующим образом:
(72)
Правила построения системы взаимосвязанных индексов
Взаимосвязь индексов определяется следующим правилом:
Индексы связаны между собой так же, как связаны между собой индексируемые величины.
Так, если обобщающий показатель равен произведению двух факторных признаков, то и индекс обобщающего показателя будет равен произведению индексов факторных признаков. В виде символов данное равенство примет вид:
Если
(73),
то
(74)
Использование данного правила позволяет определить влияние факторов на динамику обобщающего показателя. Следует иметь в виду, что оба фактора могут воздействовать на обобщающий показатель одновременно, при этом как направление, так и интенсивность действия данных факторов могут быть различны. Поэтому в анализе может определяться как общий результат их совместного воздействия на обобщающий показатель, так и влияние изменения каждого из факторов на обобщающий показатель.
Для определения совместного влияния факторов используется следующий индекс обобщающего показателя:
(75)
где х – качественный признак;
f – количественный признак.
Определить влияние каждого из факторов на динамику обобщающего показателя можно, если индексы факторных признаков увязать в систему. Система будет построена правильно только в том случае, если один из факторных индексов примет вид агрегатного индекса Ласпейреса, а второй – агрегатного индекса Пааше.
Чтобы определить, как правильно построить систему, пользуются следующей схемой:
1. Все показатели делятся на количественные (структурные) и качественные;
2. Первыми изменяются количественные показатели. Качественные служат соизмерителями и фиксируются на базисном уровне;
3. Вторыми изменяются качественные показатели. Количественные (или структурные) выступают соизмерителями и фиксируются на отчетном уровне.
4. Качественными считаются показатели, отражающие размер явления у одной единицы совокупности, например, выработка 1 работника, затраты на единицу изделия, стоимость единицы товара и т.д.
Применение данных правил позволяет построить следующие агрегатные индексы факторных признаков:
Индекс количественного признака (f):
(76)
Данный индекс имеет двойственное назначение. Во-первых, он показывает, во сколько раз в среднем изменился количественный признак в совокупности. Во-вторых, он показывает, во сколько раз в среднем изменился обобщающий показатель за счет изменения количественного признака.
Индекс качественного признака (х):
(77)
Данный индекс также имеет двойственное назначение. Во-первых, он показывает, во сколько раз в среднем изменился качественный признак в совокупности. Во-вторых, он показывает, во сколько раз в среднем изменился обобщающий показатель за счет изменения качественного признака.
Общее изменение обобщающего показателя можно найти из следующего равенства:
(78)
Базируясь на данной системе взаимосвязанных индексов, можно определить абсолютное изменение обобщающего показателя и выявить влияние факторов на его изменение в абсолютном выражении. Для этого из числителя соответствующего индекса отнимают его знаменатель, а система индексов примет вид:
(79)
Формула (79) покажет абсолютное изменение обобщающего показателя.
(80)
Формула (80) покажет абсолютное изменение обобщающего показателя за счет изменения количественного признака.
(81)
Формула (81) покажет абсолютное изменение обобщающего показателя за счет изменения качественного признака.
Общее изменение обобщающего показателя можно найти из следующего равенства:
(82)