Билет №1

1 Случайные события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число.

2 Генеральная совокупность. Выбор. Выборка. Эмпирическая функция распределения.

3 Задача

Случайные события События .    Познание действительности в естественных науках происходит в результате испытаний (эксперимента, наблюдений, опыта).      Испытанием или опытом называется осуществление какого-нибудь определенного комплекса условий, который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз.      Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта).      Таким образом, событие рассматривается как результат испытания.      Пример. Бросание монеты – это испытание. Появление орла при бросании – событие.      Наблюдаемые нами события различаются по степени возможности их появления и по характеру их взаимосвязи.      Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.      Пример. Получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.      Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.     Далее случайные события будем обозначать большими латинскими буквами A,B,C... Достоверное событие обозначим буквой Ω, невозможное – Ø.       Два или несколько событий называются равновозможными в данном испытании, если имеются основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным или менее возможным, чем другие.      Пример. При одном  бросании игральной кости появление 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков - все это события равновозможные. Предполагается, конечно, что игральная кость изготовлена из однородного материала и имеет  правильную форму.      Два события называются несовместными в данном испытании, если появление одного из  них исключает появление другого, и совместными в противном случае.           Пример. Попадание и промах при одном выстреле по цели - события противоположные.

Повторные независимые испытания

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие  . При этом интерес представляет исход не каждого "отдельного испытания, а общее количество появлений события   в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа   появлений события   в результате   испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события   в каждом испытании постоянна. Такие испытания называются повторными независимыми.

Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.

Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, в результате которых появление события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания будут называться независимыми от . Будем считать, что в одинаковых условиях производится независимых испытаний, в каждом из которых событие наступает с постоянной вероятностью . Такие испытания называются схемой Бернулли. Испытания Бернулли – это последовательность n идентичных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Каждое испытание имеет два исхода: успех и неуспех – взаимно несовместные и противоположные события.

2 Вероятность успеха р остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха q = 1–р.

3. Все п испытаний – независимы. Вероятность наступления события в любом из испытаний не зависит от результатов других испытаний.