2. Оптимізаційні моделі.

У практиці обґрунтування інженерних рішень важливе місце займа­ють оптимізаційні задачі з використанням детермінованих моделей.

Структура оптимізаційної моделі в загальному випадку включає цільо­ву функцію F(х), яку необхідно мінімізувати або максимізувати, обмеження h_k(х) у вигляді рівнянь, обмеження g_j(x) у вигляді нерівностей, а також об­ласть S допустимих значень незалежних змінних х_i. Для спрощення викла­ду будемо вважати, що оптимізація передбачає мінімізацію цільової функ­ції F(х). Тоді математичну модель у загальному вигляді можна записати так:

(7.1)

(7.2)

(7.3)

(7.4)

де х_i^н та х_i^в — нижнє та верхнє значення i-ї змінної.

Функція F(x) може мати локальний і глобальний мінімуми (рис. 7.1). Локальний мінімум функції F(x) існує в точці х₀, якщо для всіх значень х у діапазоні х₀ ± δ справедлива нерівність F(x) ≥ F(x₀). Функція F(x) має глобальний мінімум в точці х*, якщо для всіх х справедлива нерівність F(x) ≥ F(x*).

Рис. 7.1. Приклади функцій однієї змінної: а — неперервна функція з локальним (х₀) і глобальним (х*) мінімумом у допустимій області S; б — неперервна унімодальна функція; в — дискретна унімодальна функція; г — унімодальна функція з розривами.

Якщо функція F(x) на відрізку а < х< b має лише одну точку мінімуму х*, по обидві сторони від якої функція монотонно зростає, то така функ­ція називається унімодальною (рис. 7.1, б). Унімодальні функції можуть бути не лише неперервними, але й дискретними, мати розриви. Проте для них також повинна бути справедливою умова F(x) ≥ F(x*).

Одномірна оптимізація без обмежень характеризується наявністю од­нієї змінної і відсутністю обмежень h_k(х) i g_j(х), тобто

(7.5)

Задачі цього класу інакше називають безумовною оптимізацією, бо в них відсутні додаткові умови.

У випадках коли F(x) є функцією декількох аргументів (тобто N > 1), а всі інші умови відповідають задачі типу (3.5), то має місце багатомірна задача безумовної оптимізації.

Задачі умовної оптимізації, в яких функції п_к(х) і g_j(х) є лінійними, відносяться до класу задач з лінійними обмеженнями. В них цільова функ­ція може бути нелінійною і тоді їх називають задачами нелінійного про­грамування.

Якщо ж і цільова функція, і обмеження лінійні, то такі задачі відно­сяться до лінійного програмування. При додатковій умові, що всі або окре­мі змінні вектора X повинні бути цілими числами, задачі відносяться до цілочисельного програмування.

Наведена вище класифікація оптимізаційних задач має не лише мето­дологічне, але й практичне значення, бо передбачає використання специ­фічних методів їх вирішення. Постановку оптимізаційних задач рекомен­дується здійснювати в такій послідовності.

Рис. 7.2. Залежність затрат на придбання і утримання техніки (S) і втрат врожаю (В) від тривалості збирання.

Спочатку необхідно визначити границі системи, що оптимізується. Від цього суттєво залежать зміст і складність задачі. Наприклад, при обґрун­туванні складу збирально-транспортного комплексу можна оптимізувати розмір збиральних ланок, а всі інші ланки розрахунковими методами узгодити з основними. Такий вибір границь системи дозволяє вирішувати простішу оптимізаційну задачу, ніж при оптимізації всього ЗТК.

Наступним кроком буде обґрунтування критерію оптимальності, який однозначно і з достатньою повнотою характеризував би мету оптимізації. Призначення критерію є одним з найбільш відповідальних етапів.

Наприклад, при оптимізації потреби у збиральній техніці критерієм може бути сума затрат на придбання та експлуатацію техніки (S) і втрат (В) від недобору врожаю внаслідок збільшення строків збирання при не­достатній кількості технічних засобів. У порівнянні з окремими складо­вими S і В їх сума (S+В) є більш представницькою у відношенні до мети і в певних границях має оптимум (рис. 7.2).

Далі обґрунтовують набір незалежних змінних, які суттєво впливають на величину критерію оптимальності, а також обмеження. Від повноти вклю­чення незалежних змінних (факторів) у математичну модель задачі значною мірою залежить адекватність моделі реальній системі. З іншого боку, важ­ливо не збільшувати розмірності задачі за рахунок надлишкової деталізації моделі, включення факторів, що незначно впливають на цільову функцію.

Математична модель задачі описує взаємозв’язки між факторами і відображає їх вплив на цільову функцію. Ці взаємозв’язки виражають­ся рівняннями, що описують фізичні процеси функціонування системи, а також сукупністю обмежень у вигляді рівнянь та нерівностей, які ви­значають область допустимих значень факторів, задають величину ре­сурсів і додаткові вимоги. Крім числа факторів, що включені в модель, на її адекватність впливає також аналітичний вираз рівнянь зв’язку. Так, спрощення моделі за рахунок виразу суттєво нелінійних зв’язків ліній­ними залежностями може призвести до неадекватності моделі. Таким чином, побудова математичної моделі вимагає розуміння суті процесів, що протікають у системі, а також вимог щодо точності кінцевих резуль­татів оптимізацїї.

Після того, як визначені границі системи, обґрунтований критерій та цільова функція, побудована математична модель, постає питання вибо­ру методу оптимізації. Значною мірою цей вибір залежить від класу зада­чі, тобто конкретного виразу загальної моделі, що описується функціями (7.1—7.4). Найпоширеніші в інженерній практиці методи оптимізації роз­глянемо детальніше пізніше.