2.3. Динамическое подобие

Две кинематически подобные системы и называются динамически подобными, если отношение величин любых сил одной и той же природы (сил давления, трения и др.), действующих на соответственные элементы систем и в соответственные моменты времени, одинаково и равно отношению величин результирующих этих сил, т. е. соответственные многоугольники сил подобны и векторы сил одинаково ориентированы относительно своих систем отсчета. Если на выделенный элементарный объем жидкости действуют силы давления , трения и тяжести (см. рис. 1), то при динамическом подобии для всех соответственных элементарных объемов

,

(2.13)

где и – результирующие сил , и ,

– коэффициент подобия по силам динамически подобных систем.

Выразив величины результирующих сил по закону движения центра масс, получим

,

где и – массы соответственных элементарных объемов жидкости и ,

и – величины ускорений центров масс движущихся объемов жидкости.

Учитывая, что отношение геометрически подобных объемов равно отношению кубов соответственных линейных размеров, т. е.

,

и отношение соответственных ускорений согласно (2.12)

,

находим

.

Обозначим через масштаб сил динамически подобной системы

,

(2.14)

где плотности и скорости можно взять в любых соот­ветственных точках.

Итак, в подобных гидромеханических явлениях соответственные длины, времена, величины скоростей и ускорений в сходственных точках и величины сил, действующих на соответственные элементы, в соответственные моменты времени находятся в постоянных отношениях, равных , , , , . Кроме того, векторы скоростей, ускорений и сил в соответственных точках одинаково ориентированы относительно своих систем отсчета.

3. Критерии подобия гидромеханических явлений

Каждое явление определяется системой размерных и безразмерных параметров. Например, обтекание тела заданной формы поступательным безграничным потоком невязкой несжимаемой жидкости с постоянной скоростью при отсутствии массовых сил обуславливается следующими параметрами: характерным размером тела, например длиной ; величиной скорости невозмущенного потока (вдали от тела); углами, устанавливающими положение тела в потоке; плотностью жидкости . Снятие тех или иных принятых в задаче ограничений приводит к дополнительным определяющим параметрам, например, если тело будет обтекаться потоком вязкой жидкости, то в систему определяющих параметров войдет динамический коэффициент вязкости . Очевидно, что в каждом конкретном случае имеется своя система опре­деляющих параметров.

Эту систему можно установить, если задача сформулирована математически. В таком случае следует выявить все размерные и безразмерные величины, которые необходимо и достаточно задать, чтобы найти численные значения всех искомых величин по уравнениям задачи.

Допустим, что для того или иного явления существует система определяющих параметров, из которых может быть составлено то или иное количество безразмерных комбинаций. В разд. 2 отмечено, что два явления физически подобны, если любая безразмерная комбинация из размерных величин в обоих явлениях одинакова.

Следовательно, условия равенства в двух явлениях безразмерных параметров и безразмерных комбинаций, составленных из определяющих размерных параметров, являются необходимыми условиями подобия этих явлений и, таким образом, служат критерием подобия явлений. В связи с этим сами безразмерные комбинации, составленные из определяющих параметров, называются критериями подобия. Каждый критерий подобия характеризует конкретное свойство, существенное для иссле­дуемого явления.

Рассмотрим некоторые из критериев подобия гидромеха­ниче­ских явлений.