Сызықтық программалаудағы түйіндестік және түйіндестік түсінігі

Сызықтық программалаудың әрбір есебіне сыңар басқа сызықтық есебі болады. Осы қос есептердің біреуін бастапқы (алғашқы) есеп дейді, бұлардың араларындағы негізгі байланыс ол біреуінің шешімін екіншісінің шешімі арқылы алуға болатындығы.

Мысал ретінде шикізаттарды пайдалану есебін қарастырамыз.

Кәсіпорынның n түрлі өнім шығару үшін m түрлі, көлемдері шикізаттары бар. j- зат бірлігін дайындау үшін і – шикізаттың a_ij көлемі жұмсалады, өнімнің бағасы C_j. Бағаға шаққанда max – ды болатын өнім дайындау жоспарын құру керек.

Өндірілетін j- затты x_j десек, сызықтық программалаудың бастапқы есебі былай қойылады:

Сызықтық фунцияға

мәнін беретін, шектеулер жүйесінің

шешімі - векторын табу керек.

Шикізаттарды бағалайық. і – шикізат бағасын десекб j-өнімді дайындауға жұмсалған барлық шикізаттар бағасы болады. Жұмсалған шикізаттар бағасы алынған өнімнің бағасынан кем болуы мүмкін емес, демек теңсіздігі орындалады. Бар шикізаттардың бағасы . Сонымен, түйіндес есеп былай қойылады:

Сызықтық функцияға

мәнін беретін, шектеулер жүйесінің

шешімі - векторын табу керек.

Қарастырылған бастапқы және түйіндес есептердің экономикалық мағыналары мынада.

Бастапқы есеп. Заттың бағасы мен шикізаттардың көлемдері белгілі болғанда, бағаға шаққан өнім max-ды болуы үшін қанша және қандай заттар өндірілуі қажет?

Түйіндес есеп. Шикізаттар көлемдері және өндірілетін заттар бағалары белгілі болғанда, өндірудің жалпы шығыны min–ды болуы үшін шикі заттардың бағалары қандай болуы керек?

Айнымалылар у_i бағалар, немесе есептелінетін, айқын емес бағалар деп аталады. Түйіндестік есептердің математикалық моделдері тығыз байланысты. Бастапқы есеп шектеулерінің матрицасы А қосалқы есепте транспонирленген, сызықтық функция коэффициенттері С қосалқы есепте шектеулерінің бос мүшелері, шектеулердің бос мүшелері В қосалқы есепте сызықтық функцияның коэффициенттері болып келеді.

Симметриясыз түйіндес есептер.

Симметриясыз түйіндес есептерде бастапқысының шектеулері теңдеулермен, қосалқысының шектеулері теңсіздіктермен беріледі және соңғысының айнымалылары теріс таңбалы да болулары мүмкін.

Бастапқы есеп. Шектеулердің

сызықтық функцияны Z=CX минимизациялайтын шешімі баған – матрицаны табу керек.

Түйіндес есеп.

(2)

шектеулерінің сызықтық функцияны

максимизациялайтын шешімі жол-матрицаны табу керек.

Екі есепте де - жол – матрица, - баған матрица, шектеулер жүйесі коэффициенттерінің матрицасы. Түйіндес есептердің оптималдық шешімдерінің байланысы келесі теоремамен беріледі.

Теорема. (түйіндестік теоремасы).

Егер түйіндес есептердің біреуінің оптималдық шешімі болса онда екіншісінің де шешімі бар және де сызықтық функциялар экстриналды мәндері үшін теңдігі орындалады. Егер әйтеуір бір есебінің сызықтық функциясы шектеусіз болса, онда екіншісінің шешімі жоқ.

Дәлелдеуі. Бастапқы есептің оптималдық шешімі базисінде алынды делік (жалпы жағдайға, бұның қайшылығы жоқ). Онда соңғы симплекс кестесі мына түрге келеді.

Соңғы базистің компоненттерінің матрицасы D десек, онда кестенің элементтері векторларының осы базистегі жіктелу коэффициенттері болады, яғни (3) орындалады. Оптималдық шешім үшін векторларының жіктелу коэффициенттерінен құрылған матрица десек, (3) - (4) қатынастардан аламыз.

мұнда ал - векторының компоненттері оң таңбалы емес, себебі олар оптималды шешім бағаларымен бірдей.

Бастапқы есептің оптималдық шешімі болғандықтан, түйіндес есеп шешімін

түрінде іздестіреміз. түйіндес есептің шешімі болатындығын көрсетелік. (2) теңсіздікті түрінде жазып, сол жағына қойсақ , теңсіздігін аламыз, ал бұдан екендігі, яғни түйіндес есептің шешімі екендігіне көз жеткіземіз.

Бұл шешім үшін , ал (9), (6), (7) қатынастардан

болып шығады. Сонымен түйіндес есептің сызықтық функциясының шешіміндегі мәні бастапқы есептің сызықтық функциясының min мәнінен тең.

Енді оптималдық шешім болатындығын көрсетейік. Ол үшін (1) – ні қосалқы есептің кезкелген Y шешіміне, (2) – ні бастапқы есептің кезкелген х шешіміне көбейтеміз:

бұдан

орындалады. Бұл қатынас арқылы экстрамалды мәндері де байланысты.

max f (Y)  min Z (x)

Соңғы теңсіздіктен

max f (Y) = min Z (x)

екендігі шығады, ал бұл шешімінде ғана орындалады, демек түйіндес есептің оптималды шешімі.

Дәл осылайша, түйіндес есептің шешімі болса, бастапқы есептің де шешімі болатындығын және

max f (Y)  min z () екендігін көрсетеміз.

Теореманың екінші бөлігін дәлелдеу үшін, бастапқы есептің сызықтық функцияны төменнен шектелмеген делік. Онда (11) – ден түріндегі мағынасыз теңсіздікті аламыз. Демек қосалқы есептің шешімі жоқ. Дәл осы сияқты, қосалқы есептің сызықтық функциясы жоғарыдан шектелмеген делік. Онда (11) – ден мағынасыз шектеуді аламыз, демек бастапқы есептің шешімі жоқ.

Дәлелденген теорема түйіндес есептердің біреуінің шешімі арқылы екіншісінің оптималдық шешімін табуға көмектеседі.

Бастапқы есеп.

Жол – матрица С = (1; 0; -1; 0; 0 – 2; 0),

Баған – матрица

Түйіндес есеп. f=y₁ + y₂ + 3 y₃  max

Бастапқы есептің шешімін симплекс әдісімен табамыз.

і	Б	Сб	А0	С1=10	С2=6	С3=8	С4=-2	С5=-М	С6=-М
				А1	А2	А3	А4	А5	А6
1 2	А5 А6	-M -M	6 3	3 2	5 2	3 1	3 1	1 0	0 1
m+1 m+2	Zj-Cj		0	-10	-6	-8	2	0	0
			-9	-5	-7	-4	-4	0	0
1 2	А5 А1	-M 10	3/2 3/2	0 1	2 1	3/2 ½	3/2 ½	1 0	-3/2 ½
m+1 m+2	Zj-Cj		15	0	4	-3	7	0	5
			-3/2	0	-2	-3/2	-3/2	0	5/2
1 2	А3 А1	8 10	1 1	0 1	4/3 1/3	1 0	1 0	2/3 -1/3	-1 1
m+1 m+2	Zj-Cj		18	0	8	0	10	2	2
			0	0	0	0	0	1	1

(m+2)- жолында теріс таңбалы элементтердің болуы кеңейтілген есептің тірек шешімінің оптималды еместігін білдіреді. Онда мәні

Оптималдық шешім. Түйіндестік теоремасына сәйкес түйіндес есептің оптималдық шешімі соңғы базиске енген А₅, А₄, А₃ векторларының компоненттерінен құрылған D матрицасына кері матрица,

кері матрица D¹, А₂, А₄, А₆ бағандарының соңғы итерациядағы коэффициентерінен құралады

да соңғы итерациядан алынады.

Сонымен

яғни - алғашқы бірлік матрицаның тиісті бағандарында соңғы итерацияда алынған коэффициенттерден тұрады. Немесе, і- қосалқы айнымалыны алғашқы бірлік матрица бағандарының (m+1) жолындағы бағаларына сызықтық функцияның тиісті коэфициенттерін қосу арқылы алуға болады:

Осы шешімдегі