Графиктік әдіспен шешу
Сызықтық программалау есебін қарастырайық
(1)
(2)
(3)
Бұндағы барлық теңдеулер сызықтық тәуелсіз және n-m=2 қатынасы орындалсын.
Жордан-Гаусс әдісімен m жою
барысында алғашқы m айнымалылар
базистік,
ал соңғы екі айнымалы
еркін
айнымалыларға айналсын делік, яғни
шектеулер (2) мына түрге келтірілсін
(4)
Түрленген жүйе (4) теңдеулері
арқылы сызықтық функцияны тек еркін
айнымалылармен өрнектейміз де, базистік
айнымалыларды
шығарып тастап, теңсіздіктермен берілген
шектеулерге көшеміз. Ақырында келесі
есепті аламыз
Бұл есепте екі айнымалы ғана
болғандықтан графиктік әдіспен шеше
аламыз. Оптималдық
және
мәндерін тауып, (4)ге қою арқылы,
оптималдық мәндерін табамыз.
Мысал. Графиктік әдіспен есептің оптималдық шешімін табу керек.
Шешуі. Жордан-Гаусс толық жою әдісімен иеңдеулер жүйесін түрлендіреміз
мұндағы
базистік айнымалыларды теңдеулерден
алып тастасақ, есеп графиктік әдіспен
шешуге болатын мына түрге келеді:
(11)
Шешімдер
көпбұрышын ABCD және сызықтық функцияны
координаталар жүйесінде тұрғызамыз.
түзуін
векторының бағытында жылжыта отырып,
шешімдер көпбұрышының AD қабырғасында
сызықтық функция Z-тің max мәнін көреміз.
А(0;4) немесе D нүктелерінің координаталары
арқылы
мәнін табамыз. Бастапқы есептің оптималдық
шешімін табу үшін
мәндерін (9)-ге қоямыз. Нәтижесінде
оптималдық шешімін табамыз.
7, 8 – ші дәрістер. Сызықты бағдарламалау есебі үшін Симплекс әдісі. Сызықты бағдарламалау есебін Симплекс әдісін қолданып шешу. Тіреу планын түзу. Оптималды планды іздеу. Оптималдық шарты. Симплекс әдісінің алгоритмі.
Сызықтық
программалау есебінің оптималдық шешімі
тірек шешімдерінің ішінен іздестірімді,
әрбір тірек шешімі берілген n векторлар
жүйесіндегі m сызықтық тәуелсіз
векторлармен анықталатындықтан, олардың
саны
терулерінің санынан аспайды.
m және n сандары жеткілікті үлкен болғанда оптималдық шешімді барлық тірек шешімдерін құру арқылы іздестіру өте қиын.
Симплекс әдісі белгілі тірек шешімінен келесі жақсартылған тірек шешіміне көшіріп отырады, санаулы қадымнан соң оптималды шешімге келтіреді, есептің шешімі жоқ немесе сызықтық функциясы шектеусіз болса, оны да көрсетеді.
Тірек шешімдерін құру.
есебін
қарастырайық және мұндағы
болсын.
Шектеулер жүйесінің алғашқы m векторлары бірлік векторлар болсын делік. Онда есеп мына түрде қойылады
теңдеулер жүйесін (2) векторлық түрде жазайық
(4)
мұндағы
m- өлшемді
кеңістіктің сызықтық тәуелсіз
векторлары осы кеңістіктің базисін
жасайтындықтан, (4) жіктелуіндегі
айнымалыларын базистік деп,
еркін айнымалыларын нөлге теңестіріп,
болғандықтан алғашқы
шешімін аламыз. Осы шешімге сәйкес
(6)
жіктелуіндегі векторлары сызықтық тәуелсіз, демек құрылған алғашқы шешім есептің тірек шешімін береді.
Бастапқы тірек шешімнен (5) келесі тірек шешімді қалай құратындығын қарастырайық. m-өлшемді кеңістіктің (4) өрнектегі әрбір вектроы базистік векторлары арқылы бір ғана түрде былай жіктеледі
Базиске
енбеген, мысалы
векторының,
әйтеуір
бір коэффициенті
оң таңбалы болсын делік. Әзірге белгісіз
шамасына (7) теңдікті көбейтіп, (6) теңдіктен
шегерсек,
теңдігін аламыз. Сонымен
векторының
компоненттері теріс таңбалы болмаса,
шешімді береді.
болғандықтан,
векторының
теріс таңбалы
лер
енетін компоненттері теріс таңбалы
бола алмайды. Сондықтан кез келген
үшін
болатындай
мәнін табу қажет. (9) теңсіздіктен
демек
Оптималдық шешімді табу. Оптималдық шарттары.
есебінің шешімдері бар және әрбір тірек шешімі құнарлы делік. Онда
тірек шешіміне
ал
кезкелген
векторына берілген
базисінде
теңдіктері тиесілі.
Сызықтық
функцияның
векторына сәйкес коэффициентін
деп белгілейміз. Онда келесі теорема
орындалады.
Теорема1.
Егер әйтеуір бір
векторына
шарты (белгісі) орындалса, онда
шешімі оптималды емес және
теңсіздігі орындалатын ч шешімін құруға
болады.
Салдар.
Егер әйтеуір бір шешім
дің
базисінде барлық
векторларының жіктелуіне
(18)
шарты
(белгісі) орындалса, онда шешім
оптималды. Сызықтық функцияның min мәнін
табу есебінің оптималдық шарты (белгісі)
(18) теңсіздіктерімен анықталады, ал
мәндері шешім
бағалары
деп аталады.
Сонымен, сызықтық функция min-мын табу есебінің шешімі оптималды болуы үшін оның бағаларының оң таңбалы болмауы қажетті және жеткілікті.
Сызықтық программалаудың сызықтық функция max-мын табу есебі үшін келесі теорема орынды.
Теорема2.
Егер әйтеуір бір
векторына
шарты (белгісі) орындалса, онда
шешімі оптималды емес және
болатын х шешімін құруға болады.
Салдар. Егер әйтеуір бір шешім дің базисінде барлық векторларының жіктелулеріне
(19)
шарты (белгісі) орындалса, онда шешім оптималды.
(19) теңсіздіктері сызықтық функцияның max мәнін табу есебінің оптималдық шарты (белгісі).
Сонымен, сызықтық функция max-мын табу есебінің шешімі оптималды болуы үшін оның бағаларының теріс таңбалы болмауы қажетті және жеткілікті.