1.3 Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің Жордан-Гаусс әдісі
Теңдеулер жүйесі төмендегідей берілсін:
(1.3.1)
Мұндай теңдеулер жүйесін шешудің Жордан-Гаусс сандық әдісін пайдалану тиімді. Бұл сандық әдіс арқылы кері матрицаны да табуға болады. Сызықтық программалау есептерін шешуде көбіне Жордан-Гаусстың толық жою әдісін пайдаланады. Теңдеулер жүйелерінің бірінші теңдеуіндегі нөлге тең емес бір коэффициент таңдап алынады да, теңдеудің екі жағын сол коэффициентке бөлу арқылы таңдалған белгісіздің коэффициенті бірге келтіріледі. Қалған теңдеулерден осы айнымалыны жояды. Келесіде екінші теңдеуден нөлге тең емес бір коэффициент таңдалып, теңдеуді сол коэффициентке бөлу арқылы тиісті белгісіздің коэффициентін бірге келтіреді. Қалған теңдеулерден осы айнымалыны жояды. Осылайша барлық теңдеулерді қарастырады. Нәтижесінде жүйенің не үйлесімді, не үйлесімсіз екендігіне көз жеткіземіз. Егер теңдеулер жүйесі үйлесімді болса, онда шешімін табамыз. Мынадай жағдайлар кездесуі мүмкін:
1. Жүйені шешуде теңдеу нәтижесі 0=0 болса, онда теңдеуді жүйеден алып тастауға болады, себебі ол басқа теңдеулердің сызықтық комбинациясы.
2. Теңдеуден 0=bi шығатын болса, онда жүйе үйлесімсіз, шешімі жоқ.
Мысал. Жордан-Гаусс әдісін пайдаланып, есептің шешімін табамыз.
2x + у + 3z = -9,
8x + 3y + 5z = -13,
2x + 5y - z = -5.
Шешімі. Теңдңулер жүйесінің векторлық жазылуы:
xA1 + yA2 + zA3 = B.
бұл жерде
,
,
,
.
Кесте 3-Жордан-Гаусс әдісін кесте түрінде келтіреміз:
A1 |
A2 |
A3 |
B |
Контр. |
2 8 2 |
1 3 5 |
3 5 -1 |
-9 -13 -5 |
-3 3 1 |
1 0 0 |
½ -1 4 |
3/2 -7 -4 |
-9/2 23 4 |
-3/2 15 4 |
1 0 0 |
0 1 0 |
-2 7 -32 |
7 -23 96 |
6 -15 64 |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
1 -2 -3 |
2 -1 -2 |
x=1, y=-2, z=-3.
Векторларды базиске бөлу, бір базистен екіншісіне өту
n - өлшемді кеңестікте А1, А2, ...., An+m векторлары берілсе, онда сызықтық тәуелсіз А1, А2, ...., An векторлары базис құрайды. Жалпы түрде кез-келген тәуелсіз вектор n векторлар n - өлшемді кеңістіктің базисін құрайды. Бір базистен екінші базиске көшуге болады. Базисті табу, базистен базиске көшу операциялары Жордан – Гаусс әдісімен оңай орындалады.
1- мысал.
Берілген векторлар жүйесінде бір базисті тауып, одан екінші базиске көшу, Жордан-Гаусс әдісін кесте түрінде келтірейік:
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
1 -2 3 |
2 -1 -2 |
-1 2 4 |
2 1 -3 |
3 -6 2 |
1 0 0 |
2 3 -8 |
-1 0 7 |
2 5 -9 |
3 0 -7 |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
-5/7 5/3 13/21 |
2 0 -7 |
Бірінші базис Б1= (А1, А2, A3). Осы базис арқылы А4, А5 векторлары былай жазылады:
Б1 базистен Б2 базисіне көшу:
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
1 0 0 |
0 1 0 |
2 0 -1 |
11/21 5/3 -13/21 |
0 0 1 |
Екінші базис Б2= (А1, А2, A5) арқылы А3 және А4 векторлары былай өрнектеледі:
5, 6 – ші дәрістер. Сызықты бағдарламалаудың жалпы түсінігі. Есепті түрлендіру. Жазудың векторлық түрі. Жазудың матрицалық түрі. Сызықты бағдарламалау есебінің геометриялық интерпретациясы. Сызықты бағдарламалаудың графикалық әдіспен шешілуі. Графикалық әдіспен шешілетін есептерге мысалдар. Шикізатты қолдану есебі. Рационды құру есебі .