Минимакс теоремалары. Матрицалық ойындардың негізгі теоремасы.

Матрицасы өлшемді болған ойында А ойыншының стратегиясы Х = (х₁, х₂, … , х_m) ықтималдықтар тобымен беріледі. Бұл ықтималдықтармен ойыншы өзінің сәйкес алғашқы таза стратегиясын қолданады. Бұл топтарды компоненттері үшін келесі шарт орындалатын m-дік вектор ретінде қарастыруға болады:

(4.5)

Аралас стратегиясына сәйкес В ойыншысы үшін n-дік вектор дәл осылай анықталады. А және В ойыншылары стратегиясы үшін x_i және y_i ықтималдығы 0-ге тең болмаса, онда ол белсенді деп аталады.

Аралас стратегияны қолданғанда А ойыншының ұтысы ұтыстың математикалық күтімі ретінде анықталады, яғни мынаған тең немесе (векторлық-матрицалық жазуда) .

Келесіден тұратын негізгі ойын теориясының теоремасы бар: Әрбір ақырлы ойынның кем дегенде бір шешімі бар, мүмкін, аралас стратегиялар облысында.

Оптималды стратегияны қолдану ойын бағасына тең ұтысты алуына мүмкіндік береді:

^.

Ойыншылардың оптималды стратегиялары үшін мына арақатынас орын алады:

(4.6)

Стратегиялар тиімділігінің қажетті және жеткілікті шарттары.

А ойыншының оптимальді стратегиясын қолдануы оған В ойыншысының кез-келген іс-әрекетінде v ойын бағасынан кем емес ұтыспен қамтамасыз етеді. Сондықтан, келесі ара-қатынас орындалады:

(4.7)

В ойыншысы үшін оптимальді стратегиясы А ойыншының кез-келген стратегиясына v шамасынан артық емес ұтылысты қамтамасыз етеді. Яғни, мына ара-қатынас орынды.

(4.8)

Әрі қарай, (4.7) және (4.8) ара-қатынастары ойынды шешу үшін қолданылады.

Егер m, n мәндері үлкен болса, сондай-ақ, ойын матрицасында егер нүкте болмаса, онда ойын шешу мәселесі қиын. Сондықтан, матрицалық ойын теориясында бір ойынның шешілуі келесі жеңіл ойынның шешілуіне алып келетін тәсілдер қарастырылған. Қосалқы және біле тұра тиімді емес алғашқы стратегияны шегере отырып, матрицаның өлшемін қысқартуға болады. Қосалқы стратегиялар деп – төлемді матрицада бірдей элемент мәні сәйкес келетін стратегияларды айтамыз, яғни олар матрицадағы бірдей бағандарға (қатарларға) сәйкес. Егер матрицаның і қатарындағы барлық элементтер сәйкес k қатарындағы элементтерден кіші болса, онда А ойыншысы үшін і-ші стратегиясы біле тұра тиімді емес деп аталады. Егер матрицаның r бағанындағы элементтер сәйкес j бағанындағы элементтерден үлкен болса, онда В ойыншысы үшін В_r стратегиясы – біле тұра тиімді емес. Мысалы, А₂ матрицасында В ойыншысы үшін алдын-ала белгілі тиімді емес 4 стратегия, себебі а_і4 мәні сәйкес бірінші және екінші баған мәнінен аспайды. Матрицаның 4 бағанын алып тастауға болады. (В ойыншысы ешқашан бұл стратегияны қолданбайды).

Қатар және баған элементтерінің суммасы тең ішкі матрицаларға бөлу арқылы матрица өлшемін қысқартуға болады. Сонда матрицаға таза стратегияның орнына аралас қосылады. Аралас стратегияға сәйкес матрица элементтері сәйкес элемент қосындыларын аралас стратегияға біріктілген таза стратегия санына бөлу арқылы табылады. Егер аралас стратегиялар оптималдылар қатарына кірсе, онда оған кіретін таза стратегиялардың қолдану ықтималдығы өзара тең.

Қатар және баған бойынша элементтер қосындылары тең, 4 ішкі матрицаларға бөлінген А₃ матрицасын қарастырамыз:

.

А₁, А₂ және А₃, А₄ және А₅, В₁ және В₂, В₃, сондай-ақ В₄ стратегияларын біріктіріп, матрицаны мына түрге келтіреміз.

.

Алынған матрицада егер нүкте бар. Сондықтан А₂ матрицасымен берілген алғашқы ойын шешімі мынадай: X*=(1/3; 1/3; 1/3; 0; 0), Y*=(1/2; 1/2; 0; 0). Ойын бағасы 1-ге тең. Ойынды оңайлату нәтижесінде оның шешімі анық болды.

А ойыншысы үшін оптималды стратегиялар комбинациясы А₁, А₂ және А₃ болады, ал В ойыншысы үшін стратегиялар комбинациясы В₁ және В₂. А₁, А₂ және А₃ стратегияларын қолдану ықтималдығы өзара тең және олардың қосындысы 1-ге тең, сондықтан X*=(1/3; 1/3; 1/3; 0; 0). В ойыншысы үшін оптималды стратегия түрі мынадай: Y*=(1/2;1/2; 0; 0).

Осылайша, ойынын шешкенде мынаны ескеруіміз керек:

а) Матрицада егер нүктенің бар жоқтығын тексеру;

б) егер мұндай нүкте жоқ болса, онда қосалқы және алдын-ала тиімді емес стратегияларды алып тастау үшін өзара қатар және баған элементтерін салыстыру керек;

в) кейбір таза стратегиялар тобын араласқа ауыстыру үшін матрицаларды ішкі матрицаларға бөлу мүмкіндігін қарастыру керек.

Ең қарапайым матрицалық ойын – бұл әрбір ойыншының екі стратегиясының болуы. А ойынының матрицасының түрі мынадай:

.

Егер орынды нүкте жоқ болса, онда ойын шешімі X=(x₁, x₂), Y=(y₁, y₂) аралас стратегиялары болады.

Негізгі ойын теориясының теоремасына сәйкес, X=(x₁, x₂) оптималды стратегиясы қолдану А ойыншысына В ойыншысының кез келген стратегиясында v ұтысты қамтамасыз етеді. В ойыншысы үшін де оптималды стратегиясы аралас. Сондықтан егер А ойыншысы өзінің оптималды стратегиясын қолданса, онда бұл орайда В ойыншысы таза стратегиялардың бірін қолданады, бірақ А ойыншысының ұту шамасы өзгермейді. Теңдеулер жүйесін жазамыз:

(4.9)

болғандықтан шешім мынадай:

, . (4.10)

х₁ және х₂ мәндерін (4. 9) теңдеулерінің біріне қоя отырып, мынаны аламыз:

. (4.11)

Осындай теңдеулер жүйесін құру арқылы В ойыншысы үшін оптималды стратегиясын табуға болады:

, . (4.12)

Мысал 2. матрицасымен берілген ойын шешімін табу керек.

Шешуі. ; матрицаның егер нүктесі жоқ. (4.10)- (4.12) формулалары бойынша оптималды стратегияны және ойын бағасын табамыз.

.

матрицасымен берілген ойын шешімін келесі құрылымдармен графикалық түрде табуға болады. Абцисса осіне ұзындығы 1-ге тең кесінді саламыз. Кесіндінің сол жағы (x=0 нүктесі) А₁ стратегиясына сай келеді, ал оң жағы – А₂ стратегиясы. х аралық нүктелері қандай да бір аралас (х₁, х₂) стратегияларға сай келеді, онда х₁=1-х, х₂=х. Таңдалған кесінді соңдарына абцисса остеріне перпендикуляр түзу жүргіземіз. Оған таза стратегия кезіндегі ұтыстарды қоямыз. Егер В ойыншысы В₁ стратегиясын қолданса, онда А₁ және А₂ таза стратегияларын қолданғандағы ұтыс сәйкесінше а₁₁ және а₂₁ –ге тең. Бұл нүктелерді түзу бойына орналастырамыз және алынған нүктелерді В₁В₁ түзуімен қосамыз. Егер А ойыншысы аралас стратегияны қолданса, онда оның ұтысына осы түзуде жататын (4.1. сурет) кейбір М нүктесі сай келеді.

В ойыншысының В₂ стратегиясына сәйкес В₂В₂ түзуін дәл осылай құрамыз (4.2 сурет). В₁KВ₂ қисығы – А ойыншысының алған

4.1 сурет 4.2 сурет

ұтыстарының төменгі шекарасы. K нүктесі ойын бағасын және оның шешімін анықтайды. В ойыншысы үшін оптималды стратегияны анықтау формуласы:

.

Егер у₁ және у₂ анықтайтын формулаларға LB₂ және LВ₁ мәндерін қойсақ бұл қатынастың дұрыстығын байқауға болады. Онда мынаны аламыз:

LB₂ = v-a₂₂ ; LB₁ =a₂₁-v.

(4.11)-ден v-ні өрнектеп, (4.12)-ге сай келетін у₁ және у₂ мәндерін аламыз.

В ойыншысы үшін жоғарғы ұтыс шекарасының минималдау мәселесін қарастыруға болады. Ол үшін шешу барысында А және В ойыншыларының орнын ауыстыру керек.

Геометриялық түсіндірмені қолдап, өлшемді матрицамен берілген ойындардың шешімін табуға болады. В ойыншының n стратегияларының әрбіріне түзу сәйкес келеді. Бұл түзулерді тұрғызып, ұтыстың төменгі шекарасын табамыз. Төменгі шекарада жататын K нүктесі ойынның бағасы мен шешімін анықтайды. Ол үшін ұтыстын шамасы ең үлкен. В ойыншының белсенді стратегиялары анықталады (оларға сәйкес түзулер K нүктеде қиылысады).

Дәл солай матрицасы өлшемді ойынды да шешуге болады, бірақ бұл жағдайда ұтыстың жоғары шекарасын құрып, онда минимумды табу керек.

Геометриялық құрылымдар ойыншылардың белсенді стратегиялар анықтау үшін қолданылады. Кейін ойынның шешімі (4.10)-(4.12) формулалар көмегімен табылады.

Мысал 3. Келесі матрицамен берілген ойынның шешімін табу керек:

.

Шешуі. 4.3 суреттегі түзулер В ойыншының стратегияларына, ал B₃KB₄ қисығы ұтыстың төменгі шекарасына сай келеді. В ойыншының тиімді стратегиялары – үшінші мен төртінші. (4.10)-(4.12) формулалар бойынша ойынның шешімін табамыз: . Демек, А ойыншысы А₁ стратегиясын 0,4 ықтималдықпен, ал А₂ стратегиясын – 0,6 ықтималдықпен қолдайды. Оның орташа ұтысы 2,2 бірлік болады.

Сурет 4.3