2.1 Қосымша шектеуді құру

Оптималдық шешім x = (x₁, x₂, … , x_m, … , x_n) оның базисі A₁, A₂, … , A_і, … , A_m дейік. Онда соңғы симплекс кесте мына түрге келеді

X_і – бөлшек болсын, онда кейбір x_іj – лерде бөлшек сандар болуы қажет, әйтпесе есептің бүтін сандық шешімі жоқ. Сандардың бүтін бөліктерін [x_і] және [x_іj] деп белгілейміз. Бұлар x_і және x_іj сандарынан аспайтын ең үлкен бүтін сандар. Онда сандардың бөлшек бөліктері q_і және q_іj – лер теріс таңбалы емес келесі айырымдармен анықталады:

X_і – [X_і] = q_і, x_іj - [x_іj] = q_іj.

Шарт бойынша x_j 0; бүтін сандар, онда келесі айырым да

[(q_і1x₁ + q_і2x₂ + …. + q_іnx_n ) - q_і ] 0

бүтін сан болады.

Бұл теңсіздікті x_n+1 0 қосымша айнымалысын енгізумен тендеуге келтіріп, тендеудің еқі жағын да (-1) – ге көбейтіп, соңғы симплекс кестесіне тіркейміз. Кеңейтілген симплекс кестесіне қосалқы симплекс әдісін қолданамыз. Алынған шешім бүтін санды болмаса жаңадан қосымша шектеу жасалып, жоғарыдағы әрекет қайталанады.

Оптималдық шешімде бірнеше x_і бөлшек болса, қосымша шектеу

maxq_і – ге жасалады.

Есепті шешу бүтін сандық шешім немесе бүтін сандық шешім жоқтығы алынғанда тоқталады.

Бүтін сандық шешім жоқ, егер x_і бөлшегінде барлық x_іj - лер бүтін болса.

29, 30 – ші дәрістер.Ойындар классификациясы. Коалициясыз ойындар, тепе-теңдік ахуалы. Матрицалық ойындардың кеңейтілуі, тиімді стратегиялар.

Ойын теориясының пәні, негізгі ұғымдары

Белгісіздік жағдайында шешім қабылдау – тиімді шешімдер теориясының бір міндеті. Шешімді дәйектеу үшін ойындар теориясында арнайы математикалық әдістер құрылған. Ойындар теориясы жас математикалық пәндерге жатады. Оның қалыптасуы 1944 ж. Нейман мен Моргенштернның «Ойындар және экономикалық мінез-құлық теориясы» монографиясының шығуымен байланысты. Осылайша ойындар теориясы практикалық қосымшасы бар математикалық бағытқа айналды.

Ойындар теориясы бұл – математикалық модельдер теориясы. Онда қатысушылардың қызығушылығы әртүрлі, алға қойған мақсаттарына олар әртүрлі жетеді. Қатысушылардың қарама-қарсы қызығушылықтарының соқтығысуы қақтығыс жағдайының туындауына алып келеді. Мұндай жағдайларды талдау қажеттілігі өз кезегінде ойындар теориясының туындауына алып келеді. Көптеген маңызды емес себептерге байланысты практикалық қақтығыс жағдайын талдау кезінде туындайтын қиындықтарды болдырмау үшін жағдайдың оңайлатылған моделі құрылады. Мұндай модель ойын деп аталады. Ойын моделінде қақтығыс жағдайы белгілі бір ережеге сай өрбиді. Қақтығыс жағдайын анализдеудің табиғи қоры ретінде кеңінен таралған ойындар қолданылады. Олар: шахмат, шашка, карталық ойындар. Сондықтан ойын теориясына келесі терминдер сай келеді: «ойыншылар» (қақтығысқа қатысатын екі жақ), «ұтыс» (қақтығыстың бітуі) және т.б.

Ойын шешімінің белгісіздігі әр түрлі себептерден туындайды. Оларды 3 топқа бөлуге болады:

1. Ойын ережесінің ерекшеліктері ойын дамуының әртүрлілігін туындатады, сондықтан ойынның қалай бітуін болжау мүмкін емес. Мұндай түрдегі белгісіздіктің қайнар көзі комбинаторлық деп аталады, бұған сәйкес ойындарда комбинаторлық деп аталады. Бірақ комбинаторлық ойын қиындығы тиісті математикалық құралмен есептеуіш техника қолданылған арнайы тарихи ауыспалы мінез-құлыққа ие. Аса қиын емес логикалық есептерді шешу арқылы біртұтас комбинаторлық ойындардың ұтысты комбинациялары табылған.

2. Келесі белгісіздіктің қайнар көзі болып, ықпал ететін кездейсоқ факторлар жатады. Кездейсоқ себептерге байланысты нәтижесі белгісіз болған ойындар азартты деп аталады (сүйек ойыны, тиынның қай жағы түсетініне байланысты ойын, рулетка).

3. Үшінші белгісіздік қайнар көзі қарсыластардың іс-қимылдары туралы мәліметтердің жоқтығынан тұрады. Мұндай ойын түрін стратегиялық деп атайды.

Осы ойындарды жете қарастырсақ. Ойында екі немесе бірнеше қарсыластардың қызығушылықтары соқтығысуы мүмкін. 1-ші жағдайда ойын –жұпты , 2-шісінде көпшілікті деп аталады. Жұпты ойындардың практикалық маңызы үлкен болғандықтан тек соны ғана қарастырамыз. Ойынға қатысушыларды А және В арқылы белгілейміз. Сондай-ақ, ойынға дейін нақты құрастырылған ережеге сәйкес А және В ойыншыларының іс-әрекетінің ретін келісіп аламыз. Ереже мынаны анықтайды: ойыншылардың мүмкін іс-қимылдардың вариантын, ойын шешімін, ойындардың көпшілігінде қатысушылардың қызығушылығы сандық бейнелейге илігеді деп болжайды, яғни ойын нәтижесі (ұтысы) кейбір санмен анықталады. Ойын теориясында ойын ережесімен берілген бір іс-әрекетті таңдау және оны іске асыруды жүріс деп аталады. Ойыншының стратегиясы деп кез-келген мүмкін жағдайды және кез-келген іс-жүзіндегі ақпаратты таңдауға арналған жоспарды айтамыз. Әрине, ойыншы шешімді ойын барысында қабылдайды. Бірақ, теориялық тұрғыдан алғанда ойыншы шешімді алдын-ала қабылдайды. Сонда бұл шешімдердің жиынтығы оның стратегиясын құрайды. Мүмкін болған стратегиялардың санына байланысты ойындар шекті және шексіз болып бөлінеді. Ойын теориясының мақсаты – ойыншылар үшін нұсқау табу, яғни оларға тиімді стратегия анықтау. Тиімді стратегия деп, ойынның бірнеше рет қайталануында, ойыншыға орташа максимальді ұтысын қамтамасыз ететін стратегияны айтады. Ойын стратегиясының қарапайым түрі бұл – екі адамның нольдік ұтысты ойыны (екі жақтың да ұтыс жиыны нольге тең). Ойын 2 жүрістен тұрады: А ойыншысы өзінің мүмкін стратегиясының бірін таңдайды, ал В ойыншысы өзінің стратегиясын таңдайды. Еске сала кететін жай әрбір таңдауды ойыншылар білмей жүргізеді. Ойыншылардың және ұтыстары

(4.1)

арақатынасын қанағаттандырады.

Егер болса, аламыз.

А ойыншының мақсаты – функциясын максималдау, өз кезегінде, В ойыншының мақсаты – бұл функцияны минималдау. Әрбір ойыншы функцияның мәні тәуелді айнымалылардың бірін таңдай алады. Егер А ойыншы А_i стратегиясының бірін таңдаса, онда бұл өзінше функциясының мәніне ықпал ете алмайды. А_i –дің мәнінің шамасына ықпалы анықталмаған болып табылады. Анықталғандық басқа ойыншымен B_j айнымалыны -ні минималдау принципі негізінде таңдау нәтижесінде орын алады. болсын. А матрицасын құрамыз.

.

Матрица қатарлары А_i стратегияларына сәйкес келеді. А матрицасы төлемді немесе ойын матрицасы деп аталады. Матрицаның a_ij элементі А ойыншының ұтысы, егер ол А_i стратегиясын, ал В ойыншысы B_j стратегиясын таңдаса. А ойыншысы кейбір А_i стратегиясын таңдаған болсын, сонда ең төмен жағдайда (мысалы, егер таңдау В ойыншысына белгілі болған жағдайда), ол -ге тең ұтыс алады. Мұндай мүмкіндікті болжамдап, А ойыншысы өзінің минималды ұтысын максималдау стратегиясын таңдауы тиіс.

. (4.2)

шамасы – А ойыншының кепілденген ұтысы – ойынның төменгі бағасы деп аталады.

– ны алуды қамтамасыз ететін стратегиясын максиминді деп айтамыз.

В ойыншысы стратегияны таңдау барысында сондай стратегиясын таңдайды, оның ұтылысы матрицаның j бағанының элементтер мәнінің максималдығынан аспайды, яғни кіші немесе тең . j-нің әртүрлі мәні үшін жиынын қарастырсақ. В ойыншысы әрине өзінің максимальді ұтылысын минималдайтын j мәнін таңдайды.

. (4.3)

шамасы ойынның жоғары бағасы деп аталады, ал ұтысқа сәйкес B_j стратегиясын минимаксті деп айтамыз. Іс жүзінде А ойыншының ұтысы, әріптестердің іс-әрекеті нәтижесінде, төменгі және жоғарғы ойын бағасымен шектелген. Егерде бұл өрнектер тең болса, яғни

, (4. 4)

онда А ойыншының ұтысы анықталған сан. Ондай ойын анықталған деп аталады. Ал (4.4) ұтысы ойын мәні деп аталады және матрицаның элементіне тең. Толық анықталған ойынды кейде егер нүктесі бар ойын деп те атайды. Осындай ойын матрицасындағы элементі бір мезгілде i_o қатарында минимальді, j_o бағанында максимальді болып табылады және егер нүкте деп аталады. Егер нүктеге ойыншылардың оптимальді стратегиялары сәйкес келеді, бұл стратегиялар ойынның шешімін құрайды. Ойынның шешімі мына қасиетке ие: егер ойыншылардың бірі өзінің оптималды стратегиясын ұстанатын болса, онда келесі ойыншыға өз оптималды стратегиясынан ауытқуы ұтымды емес.

Мысал 1. А₁ және А₂ төлемді матрицаларымен берілген ойындар үшін төменгі және жоғарғы бағасын анықтау керек:

.

Шешуі. А₁ матрицасындағы қатарларының a_ij минималды мәндері сәйкесінше 2, 3, 1- ге тең. Олардың ішіндегі максималды мәні 3-ке тең. Демек, – матрицасы А₁ болған ойынның төменгі бағасы – 3-ке тең.

β₁ –ді (осы ойынның жоғарғы бағасы) анықтау үшін матрица бағандарындағы максималды элемент мәнін табамыз. Бағандар бойынша мынау бар: 4, 5, 6, 5. Сәйкесінше, β₁= 4. А₂ матрицасы үшін

Осылайша, – ойын бағасы. Осы ойынның шешілуі А ойыншысының А₂ стратегиясын таңдаудан тұрады, оның ұтысы 2-ден кем болмауы тиіс. В ойыншысы үшін оптималды стратегия В₂ болып табылады.

Ойыншылардың біреуінің оптималды стратегиясынан ауытқуы ұтыстың азаюына (А ойыншысы үшін) және ұтылыстың ұлғаюына (В ойыншысы үшін) алып келетінін байқау оңай.

Осылайша, егер ойын матрицасында егер нүкте бар болса, онда ойын шешімі белгілі. Әрбір ойыншы өзінің оптималды стратегиясын қолданады. Егер нүктесі жоқ матрицалар үшін ойын шешімін табу сұрақ туындайды. Бұл ойындарда . Әрбір ойыншылар үшін минимаксты стратегияларды қолдану -дан көп емес ұтысты және -дан кем емес ұтылысты қамтамасыз етеді. Әрбір ойыншылар үшін ұтысты ұлғайту (ұтылысты азайту) жаратынды сұрақ. Бұл сұраққа жауап іздеп, ойыншылар бір емес бірнеше стратегияларды қолданады. Стратегияны таңдау кездейсоқ жағдайда болады. Ойыншының өз стратегиясын кездейсоқ таңдауы аралас стратегия деп аталады.