Глобал минимум туралы негізгі теорема

Келесі теорема тиімділіктің қажетті және жеткілікті шарттарын орнатады. Кез келген үшін функциясын үзіліссіз және бірінші, екінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар деп ұйғаралық. Онда келесі теорема дұрыс болады.

Теорема. нүктесі функциясының минимумы (локальды немесе глобальды) болуы үшін:

а) (стационарлық шарты);

б) гессиан , жартылай анықталған матрицаның оң болуы қажетті және жеткілікті болып табылады.

Бір айнымалылы функцияны минимумдау әдістері

Мақсатты функцияның унимодальды екені белгілі болып немесе анықталған интервалда мақсатты функцияның бір экстремумы бар және ол бізді қызықтыратын болса, онда полиномиальды аппроксимациялау әдісін қолдану қолайлы болады. Сонымен бұл әдістің идеясы төмендей.

Алдымен экстремум интервалдардың шекараларын орнатамыз. Ары қарай алынған интервалындағы нүктенің мақсатты функциясын өлшейміз. Сосын полиномды аппроксимацияланада мақсатты функция (әдетте, квадрат немесе куб көпмүшелік қарастырылады) көрсетілген нүктеден өтеді. Кейін аппроксимацияланаған көпмүшелік экстремумы табылады.

Кесіндіні қақ бөлу әдісі

Келесі әдістер тобы: дихотомия, Фибоначчи сандарын қолдану және алын қима әдістері.

Алдымен экстремум бар алғашқы интервалдарды бөлу, экстремумы жоқ ішкі интервалдарды сыртқы интервалдан шығарып тастау отыру қажет. Дихотомия әдісін қарастыралық. Бұл әдіс оптимумы бар интервал ұзындығын әр қадамда екі есе кішірейтуге мүмкіндік береді. Егер q функциясына n есептеу жүргізілген болса, онда интервал ұзындығын рет азайтуға мүмкіндік бар. Мейлі экстремум интервалынан табылсын. интервалын бөлейік. Ортасын деп аламыз, сосын екі нүктесінің арасынан , , бес нүктені аламыз. Унимодальдықты ескеріп, әруақытта интервалдар ішінен төртеудің екеуін алып тастау мүмкін (оптимум нүктесі егер табылмаса) және тек екі іргелес ішкі интервалдар және қалады.

Демек, барлығы жартылай ұзындықтағы (кесінді) есебіне келтіріледі.

25, 26 – ші дәрістер. ОЗ сызықтық моделдерінің мысалдары

Қорларды пайдалану есебі. Зауаттың m түрлі қорлары бар. і-ші қордың мөлшері в_і бірлікке тең . Бұл қорлардан n түрлі өнім шығарылады. Өндіріс j-ші өнімнің d_j бірлігінен көп шығарылмайды. J-ші өнімнің бірлігін шығару үшін і-ші қордың a_ij,бірлігі қажет. J-ші өнімнің бірлігін сатудан түсетін пайда C_j бірлік болды. Өндірісті шикізат қорын тиімді пайдаланып, өнімді сатудан түсетін жиын пайда ең үлкен мән қабылдайтындай етіп ұйымдастыру керек.

Егер айнымалы арқылы j-ші өнім мөлшерін белгілесек, онда қойылған есептің математикалық моделі келесі болады:

(1)

Емдәм құру есебі. Күндізгі емдәм құрамында m әр түрлі нәрлі зат болу керек. Әр түрлі заттың мөлшері b_i бірліктен кем емес болуы қажет. Мөлшерлері d_j n түрлі азық – түлік бар. a_ij-j-ші түрдегі азық-түлік құрамындағы і-ші түрлі нәрлі зат мөлшері, C_j-j-ші түрлі азық-түлік құны, х_j – жұмсалатын азық-түлік көлемі болсын. Онда математикалық тілде есеп былай жазылады:

(2)