Сызықтық емес бағдарламалау есебін шешудің жалпы жүйесі.

Сызықтық емес бағдарламалау есебін шешу алгоритмі мынандай болады:

1. Алдымен есептің үйлесімді шешімдер облысын берілген шектемелер (2) және (3) арқылы анықтау керек.

2. Содан кейін кез-келген h санын гипербет тұрғызылады:

.

3. Осы гипербеттің ішінен h_max(немесе h_min) сәйкес болатын гипербет табылады; немесе F функциясының анықталу облысында шектелмегендігі анықталады.

4. Ең үлкен h_max(немесе ең кіші h_min)сәйкес келетін гипербет өтетін анықталу облысының нүктесі табылып, ондағы мақсат функциясының мәнін табу керек.

Графикалық әдіс.

Есептің шешу алгоритмі түсінікті болуы үшін алдымен графикалық әдісті қарастырайық.

Мысал. Келесі мақсат функциясының экстремумын берілген шектемелер анықтайтын үйлесімді шешімдер облысынан табу керек.

_.

1. Берілген теңсіздіктер бойынша үйлесімді шешімдер облысын табамыз; ол ABCD төртбұрышы болады:

2. Егер F=h деп алсақ, онда

центрі 0(0, 0) нүктесіне орналаскан радиусы шеңбер алынады.

3. Әрине, үйлесімді шешімдер облысының 0 нүктесіне ең жақын орналасқан нүктесі үшін h (немесе F) ең кіші мән қабылдайды; ал ең алыс орналасқан нүкте үшін ең үлкен мән қабылдайды.

4. 0 нүктесінен ең алыс нүкте бірден анықталады; ол В нүктесінің координаттары – келесі жүйені шешу арқылы табылады: .

Ең жақын нүктені табу үшін 0 нүктесінен түзуіне дейінгі қашықтықты тапсақ жеткілікті: ,

ал ол Е нүктеснің координаттары былайша табылады:

.

Сонымен, есептің шешуі:

Лагранж көбейткіштер әдісі.

Сызықтық емес бағдарламалау есебінің жеке түрі ретінде шектемелері тек теңдеулерден тұратын жағдайын қарастырайық. Ол есепті классикалық тиімді есебі деп атайды:

(4)

(5)

Бұл есепті шешу үшін Лагранж көбейткіщтер әдісін қолдануға болады. Ол бойынша деген белгісіз айнымалыларды енгіземіз; олар Лагранж көбейткіштері деп аталады. Осыдан кейін Лагранж функциясы құрастырылады:

(6)

Осы Лагранж функциясының бірінші туындыларын нөлге теңестіру арқылы келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

(7)

Бұл теңдеулер жүйесінің кез-келген шешімі F функциясының экстремумын береді.

Сонымен, Лагранж әдісінің шешу жолы былайша жазылады:

1. Лагранж функциясын (6) құрастыру .

2. Лагранж функциясының туындыларын тауып, оларды нөлге теңестіру керек.

3. Осыдан алынған (7) теңдеулер жүйесін шешу.

4. Осы шешімдердегі мақсат функциясының мәндерін тауып, салыстыру арқылы мақсат функциясының максимумын немесе минимумын анықтау.

Енді осы әдіске арналған мысал қарастырайық.

Мысал.

Шешуі:

1. Лагранж функциясын құрастырамыз:

2. Лагранж функциясының туындыларын нөлге теңестіреміз:

Осы теңдеулер жүйесінің шешуі:

2. Мақсат функциясының осы шешімге сәйкес мәнін табамыз

Тақырыптың бақылау сұрақтары

Сызықтық емес программалау есебінің қойылуы

1. Сызықты емес программалау есебінде экстремум нүктесі мүмкін шешімдер жиыны облысының қай жерінде жатады?

2. Егер есептің шектеулері сызықты емес болса, онда мүмкін

шешімдер облысы дөңес бола ма?

3. Мүмкін шешімдер облысы дөңес болмаса, онда глобалды

оптимумнан басқа локалды оптимум нүктесі болуы мүмкін бе?

4. Алынған оптимальды жоспар глобальды оптимум болуы үшін,

мүмкін шешімдер облысы және мақсат функция қандай болуы керек?

5. Мүмкін шешімдер облысын қалай анықтаймыз?

6. Лагранж көбейткіштер әдісінде шартты экстремумды анықтау үшін қандай функцияны құрамыз?

7. Лагранж функциясы

8. Лагранж көбейткіштер әдісі алгоритмі.

9. Шартты экстремум дегеніміз не?

10. Шартсыз экстремум түсінігін бер?

11. Стационар нүктені қалай анықтаймыз?

12. Глобальды минимум және максимумды қалай анықтаймыз?

13. Шартты экстремум түсінігін білу.

14. Дербес туындыны табу

15. Шарт теңсіздік түрінде берілгенде Лагранж көбейткіштер әдісін қолдануға бола ма?

23, 24 – ші дәрістер. Бір айнымалылы функцияны минимумдау әдістері. Кесіндіні қақ бөлу әдісі. Алтын қима әдісі. Тиімді іздестіру. Сандық тізбектің қасиеті туралы лемма. Градиенттік әдіс. Градиент проекциясы туралы теорема. Ньютон әдісі. Лагранж көбейткіштері әдісі. Айыптық функциялар әдісі.

Сызықтық программалау есептер шешімдерінің қасиеттерін қарастырайық.

Жоғарыда айтылғандай сызықтық программалау есептерінің мүмкін жоспарлары есептің анықталу облысын құрайды.

Теорема: сызықтық программалау есептерінің анықталу облысы дөңес жиыннан құралады.

Анықтама 1. Егер жиынның екі кез келген нүктесі оларды қосатын түзу кесіндімен бірге жиынға енсе, онда жиын дөңес деп аталады.

Мысалы, (2.8) –(2.10) есептерінің жоспарларының көпшілігі дөңес болады, себебі шектеулер жүйесі АВСДЕ дөңес көпбұрышымен бейнеленген. Егер бұл жиынның кез келген екі нүктесін алатын болсақ, оларды қосатын кесінді де осы жиында жатады.

2.2. Суретте көрсетілген жиын дөңес емес.

Анықтама 2. Егер жиынға барлық шекаралық нүктелер енсе, онда ол тұйық деп аталады.

Тұйық жиын (2.3 а) суретінде көрсетілгендей шектеулі және (2.3 б) суреттерінде көрсетілгендей шектеусіз болуы мүмкін.

Сызықтық программалау есептерінің мүмкін жоспарларының жиыны тұйық дөңес көпбұрыш құрайды. Көпбұрыштың төбелері бұрыштық нүктелері болып табылады. Түзу, жазықтық, жартылай жазықтық, кеңістік, жартылай кеңістіктің бұрыштық нүктелері болмайды.

Теорема (дәлелдеусіз). Сызықтық программалау есептерінің мақсатты функциясы өзінің экстремалды мәндерін шешімі болған көпбұрыштың бұрыштық нүктелерінде қабылдайды. Егер мақсатты функция эктремалды мәнін бірден көпбұрыштық нүктеде қабылдаса, онда сол мәнді ол нүктелерді қосатын кесіндінің кез келген нүктесінде қабылдайды.

Сызықтық программалу есептерінің жоспарлары:

1. Тұйықталып шектелген (2.3. а сурет) –бұл кезде бір немесе шексіз көп оптималды шешім қабылдайды;

2. Тұйықталған шектеусіз (2.3 б сурет) –бұл кезде бір немесе шексіз шешім қабылдайды немесе оптималды шешімі болмайды, себебі жиынның шектеусіздігіне сәйкес мақсатты функция да шектеусіз болады;

3. Бос (2.3 в сурет) –бұл жағдайда есептің қанағаттандыратын нүктелері болмайды.

Сонымен қатар сызықтық программалау есептерінің шешімі нүкте, кесінді, сәуле түрінде де берілуі мүмкін.

Ескерту. Сызықтық программалаудың нақты есептерінің әруақытта шешімі болады, яғни оптималды шешімі болады. Кейде есептің шартының дұрыс қойылмауы есептің шешілмеуіне әкеліп соғады.

Анықтама. Егер кез келген функция кесіндіден толығымен төмен (жоғары емес) жатса, кез келген екі нүктесін қосатын, барлық нүктелерінен , яғни егер кез келген х₁ және х₂ кез келген 0   1 үшін болғанда функцияның мәндері х нүктесінде кесіндінің мәнінен артық емес және қосатын:

(1)

болса, онда функциясы дөңес деп аталады.

Анықтама. Егер де кесіндінің кез келген екі нүктесін қосатын:

(1)

функциясы бар болса және ол кесіндіден толығымен жоғары (төмен емес) жатса, онда ол функция ойыс деп аталады.