3.3 Потенциялдар әдісі

Теорема. Транспорт есебінің шешуі х^*=(х^*_ij) оптималы болса, онда оған

U^*_i+V^*_j = C_ij , егер Х^*_ij >0

және

U^*_i+V^*_j = C_ij , егер Х^*_ij = 0

i =1,m ; j =1,n

шарттарын қанағаттандыратын, барлығы m+n U^*_i және V^*_j сандарының жүйесі сәйкес. Сандар U^*_i және V^*_j тиісінше ұсынушылар және тұтынушылар потенциалдары деп аталады.

Дәлелдеуі.

Z = min

x_ij >=0, i= , j= .

транспорт есебін сызықтық програмалаудың қайсыбір бастапқы , есебіне қосалқы деп қарастырсақ, онда бастапқы есебіне қосалқы деп қарастырсаң онда бастапқы

U_{i +}V_j <=>= c_ij , i= , j = түрде беріледі.

Х^*-қосалқы есептің аптималды шешуді, сандықтан

Y*(U_i* _, V_j^*_,), қосалқылық теоремасына сәйкес max f=min z

немесе

, х_ij^*> =0

Берілген теоремаға сүйенген, қосалқы есептің аптималды шешуінің оң таңбалы компоненттеріне сәйкес бастапқы ,,,,, шектеулі қатаң түрде өрнектеледі, яғни

U^*+V^*= C^* _ij , X^*> 0,

U^*+V^*< = C_ij X^* =0.

Сонымен, бастапқы тірек шешімі аптималды болуы үшін, келесі шарттардың орындалуы қасиетті:

А) ,,,,, клетка үшін потенциалдар қосындысы тасмалдау бағытынан ,,,керек, яғный

U_i +V_j<=C_ij (**)

17, 18, 19, 20 – ші дәрістер. Дөңес бағдарламалау есептері

Мазмұны: Дөңес функциялар. Дөңес талдам элементтері. Локальды немесе глобальды минимум туралы. Глобал минимум туралы негізгі теорема

Келесі сызықтық емес бағдарламалау есебі қарастырылсын:

(1)

(2)

(3)

мұндағы F, g_i – берілген функциялар.

Анықтама. Дөңес x жиынында берілген F(x) функциясы дөңес деп аталады, егер кез-келген x₁ және x₂ нүктелерімен кез-келген саны үшін келесі шарт орындалса:

(4)

Анықтама. Дөңес x жиынында берілген F(x) функциясы дөңес деп аталады, егер кез-келген x₁ және x₂ нүктелерімен кез-келген саны үшін келесі шарт орындалса:

(5)

Анықтама. Дөңес бағдарламалау есебінің (1) – (3) Лагранж функциясы деп келесі функцияны айтады:

(6)

мұндағы - Лагранж көбейтінділері.

Анықтама. Лагранж функциясының ер нүктесі деп ( ) нүктесін айтады, егер барлық үшін келесі теңсіздіктер орындалса:

(7)

Теорема (Кун-Таккер). Берілген (1) - (3) дөңес бағдарламалау есебінің тиімді шешімі тек векторы болған жағдайда ғана болады; мұндағы ( ) – Лагранж функциясының ер нүктесі болғанда:

(8)

Сонымен, осы анықтамалар мен Кун-Таккер теоремасын пайдаланып, дөңес бағдарламалау есебін шешу жолын көрсетейік:

1. Лагранж функциясы құрастырылады.

2. Лагранж функциясы үшін (8) түрінде ер нүктесінің болуының қажеттілігі мен жеткілікті шарттары жазылады.

3. Ер нүктесінің болмауын анықтайды немесе ол нүктенің координатын табады.

4. Берілген есептің тиімді шешімін жазып, мақсат функциясының мәнін табады.

Осыған байланысты есептер қарастырайық.

Мысал. Келесі функцияның максимумын табуға

келесі шарттарды қолдану керек:

Шешуі.

1. Лагранж функциясын құрастыру:

.

2. (8) шарттарды пайдаланып:

(9)

(10)

(11)

Сызықтық теңсіздіктерді (9) көшіріп жазайық :

(12)

Қосымша айнымалы шамалар және енгізу арқылы (12) орнына теңдеулер аламыз :

(13)

(10) мен (13) арқылы келесі теңдіктерді жазуға болады:

Егер (13) теңдеулер жүйесінің базистік шешімі табылса, онда Лагранж функциясының ер нүктесі немесе тиімді шешімі табылғаны.

3. Теңдеулер (13) жүйесінің базистік шешімдерін табу үшін жасанды базис әдісін пайдаланамыз. Ол үшін қосымша және шамаларын енгізіп, келесі сызықтық бағдарламалау есебін қарастырамыз:

келесі шарттар:

Бұл есептің шешуі келесі кестеде келтірілген :

баз		0	0	0	0	0	0	0	0	-М	-М
	1	4	-1	1	2	-1	0	0	0	1	0
	4	-1	4	2	1	0	-1	0	0	0	1
	12	1	2	0	0	0	0	1	0	0	0
	15	2	1	0	0	0	0	0	1	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	-5	-3	-3	-3	1	1	0	0	0	0	0
		1					0	0	0		0
		0					-1	0	0		1
		0					0	1	0		0
		0			-1		0	0	1		0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
		0					1	0	0		0
		1	0					0	0
		0	1					0	0
		0	0					1	0
		0	0					0	1
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1

Бұл кестеден :

(10) формулаларынан :

немесе

Нүктесі Лагранж функциясының ер нүктесі болады. Осыдан

тиімді шешім болады.

Тақырыптың бақылау сұрақтары

1.Сызықтық программалау есептерінің мүмкін шешімдері қандай облыстарды құрайды?

2. Дөңес жиын дегеніміз не?

3. Тұйық жиын дегеніміз не?

4. Бұрыштық нүкте қандай болады?

5. Тіреуіш түзуін қалай тұрғызамыз?

6. Деңгей сызықтары дегеніміз не?

7. Шешімдер облысын қалай аламыз?

8. Максимум, минимум нүктелерін графиктік әдісте қалай анықтаймыз?

9. Шешімдер жиыны шектелмеген жиын(облыс) болса, есептің шешімі бола ма?

10. Шешімдер жиыны бос жиын болса, шешімі қандай болады?

21, 22 – ші дәрістер. Сызықтық емес бағдарламалау есебі

Мазмұны: Сызықтық емес программалау есебінің қойылуы. Тиімділіктің қажетті шарттары.

Сызықтық емес бағдарламалау есебін шешудің жалпы жүйесі. Графикалық

әдіс. Лагранж көбейткіштер әдісі. Лагранж функциясы.

Есептің қойылуы

Математикалық бағдарламалау есебінің жалпы түрін қарастырайық . Ол былайша қойылады:

мақсат функциясы

(1)

және шектеуші шарттар:

(2)

, (3)

мұндағы F және g_i – берілген функциялар, х_j – айнымалы белгісіздер, ал b_i – тұрақты шамалар. Берілген (2) және (3) шарттарын қанағаттандыратын және F функиясының максимумын (немесе минимумын) беретін белгісіздердің мәндерін табу керек.

Егер F және барлық функциялары сызықтық болса, онда есеп жоғарыда қарастырылған сызықтық бағдарламалау есебі болады.

Шектеуші теңдеулер (3) мен теңсіздіктер (2) сызықтық емес болғандықтан бұл есептің анықталу облысы дөңес болмауы мүмкін және мақсат функциясының экстремум нүктелері анықталу облысының ішіндеде болуы мүмкін.