Побудова дискретних динамічних моделей прогнозування концентрації шкідливих викидів
1.1 Проблеми побудови математичних моделей прогнозування концентрації шкідливих викидів в атмосферу
Проблема охорони навколишнього середовища є однією з найважливіших завдань науки. Бурхливий розвиток промисловості та зростання транспортних потоків призводять до проблеми збереження екологічних систем. За останні десятиліття екосистеми зазнають значного впливу через антропогенні чинники. Через негативний вплив промисловості в багатьох регіонах уже утворилася небезпечна екологічна ситуація. Зокрема, забруднено басейни рік, ландшафт, повітряний басейн. Тому на сьогоднішній день прогнозування змін характеристик таких систем є актуальним завданням.
Однією з головних проблем екологічних систем є значна кількість шкідливих викидів (CO2, CO, SOx, NOx) в атмосферу, рівень яких щороку зростає. Сукупний вплив газових та аерозольних викидів може призвести до негативних ефектів, наприклад, до кризових ситуацій у біосфері та різкого збільшення рівня захворюваності дихальних шляхів у людей.
Тому важливим є прогнозування концентрацій шкідливих викидів в атмосферу для попередження екологічних проблем і вчасного реагування на них.
Для виявлення впливу різних чинників на складні екологічні системи виникає необхідність побудови моделей процесів, що відбуваються в них. Найбільш ефективним засобом для цього є використання апарату математичного моделювання. З точки зору комп'ютерного моделювання найбільш перспективним є метод моделювання на основі дискретних рівнянь стану. З математичної точки зору цей підхід є найбільш формалізованим і має практичне застосування в різних галузях.
У працях П. Г. Стахіва та Ю. Я. Козака [1-2] побудова динамічних моделей електричних та електронних кіл здійснюється з використанням оптимізаційного підходу. Цей підхід дозволяє універсалізувати побудову моделей. Проте, при використанні такої універсалізації, виникають складні оптимізаційні задачі, які складно розв’язати за короткий час навіть за допомогою найсучасніших обчислювальних ресурсів. Також деякі задачі вимагають моделювання у режимі реального часу. Якщо враховувати всі чинники моделі, то її складність зростає експоненційно, що зумовлює великі потреби до обчислювальних ресурсів.
Саме тому сьогодні дуже актуальним є створення методів побудови моделей екологічних систем, що піддаються реалізації на вже наявній обчислювальній техніці і забезпечують необхідну швидкість обчислення.
Метод побудови дискретних динамічних моделей
Розглянемо узагальнену математичну модель у формі дискретних рівнянь стану (1):
(1)
де
– вектор змінних стану;
– вектор вхідних значень;
– вектор вихідних значень;
– матриці, з невідомими коефіцієнтами,
які необхідно знайти при побудові
моделі;
– деяка нелінійна вектор-функція
багатьох змінних, форму і коефіцієнти
якої також потрібно знайти.
Така
форма моделі (1) характеризується деяким
вектором невідомих параметрів
.
Для моделі (1) цей вектор складається з
елементів матриць
та коефіцієнтів вектор-функції
[3].
Критерієм
точності моделі є функція
.
Цей критерій позначає відхилення
поведінки моделі від поведінки об’єкту,
що моделюється. Функція мети
розраховується як середньоквадратична
похибка значень моделі від значень
модельованої системи:
де
– відомі характеристики модельованого
об'єкта,
– перехідні характеристики розраховані
за допомогою моделі.
Тому побудову такої моделі можна звести до знаходження значень вектора , при яких функція мети буде мінімальною [3].
Задача знаходження мінімальної точки нелінійної функції багатьох змінних є складним завданням. При побудові дискретних динамічних моделей функція мети має чітко виражений яровий характер з великою кількістю локальних мінімумів. Для розв’язку таких задач найкращими характеристиками володіє метод напрямного конуса Растригіна [4].
Алгоритм напрямного конуса для побудови дискретних динамічних моделей можна подати такими кроками [5]:
1.
Будується гіперсфера з центром у точці
(параметри моделі) і радіусом h.
На поверхні гіперсфери вибирається m
випадкових точок із рівномірним законом
розподілу. Серед цих точок вибирається
точка
,
в якій значення функції мети є найменшим.
Визначається вектор пам’яті:
2.
Далі на кожному кроці будується гіперконус
із вершиною в точці
,
кутом розкриття ῳ і напрямком 
.
3.
Цей гіперконус відсікає від гіперсфери
з центром у точці
і радіусом h
деякий сегмент. На ньому вибирається m
випадкових, рівномірно розподілених
точок, і за напрям
вибирається точка, в якій значення
функції мети має найменше значення.
Перераховують новий вектор пам’яті:
,
де 0≤α<1, 0<α≤1.
4. Пошук продовжується доти, поки зменшується значення функції мети. У випадку потреби, мінімум уточнюють за допомогою методу локальної оптимізації.
Блок-схему алгоритму напрямного конусу Растригіна зображено на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Блок-схема алгоритму напрямного конуса Растригіна
За допомогою цього підходу можна провести цілеспрямований перебір локальних мінімумів, що прискорює знаходження глобального мінімуму цільової функції. Проте, обчислювальна складність такої задачі буде досить велика.
Характерною особливістю оптимізованої функції є складність її розрахунку в сенсі затрат процесорного часу. Оскільки функція мети – це сума відхилень поведінки моделі від поведінки об’єкта, що моделюється, для певної множини часових відліків, то час, що необхідний для її обчислення, буде лінійно залежати від кількості дискрет. Відповідно, обчислювальна складність задачі буде пропорційна кількості вхідних даних, а не порядку створюваної моделі. Для побудови якісної моделі потрібно залучити значну кількість даних, що використовуються для обчислення функції мети. Отже, значними будуть затрати машинного часу на обчислення значень відповідних функцій [3].
Також для побудови якісної моделі використовується значна кількість вхідних даних. Отже, значними будуть і затрати машинного часу на реалізацію оптимізаційних процедур [6].
Тому існує потреба в розробці достатньо універсальних алгоритмів побудови дискретних динамічних моделей з використанням розпаралелення, за допомогою яких можна буде ефективно будувати моделі екологічних систем.