2. Классификация интегральных уравнений и некоторые методы их решения

Линейные интегральные уравнения - это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно:

где   — искомая функция,  ,   — известные функции, λ — параметр. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить еще на несколько видов.

2.1 Уравнение Фредгольма первого и второго рода

Линейным интегральным уравнением Фредгольма первого рода называется уравнение вида:

(1)

Линейным интегральным уравнением Фредгольма второго рода называется уравнение вида:

(2)

где - неизвестная функция, и - известные функции, и действительные переменные, изменяющиеся в интервале (a,b), λ- численный множитель.

Функция называется ядром интегрального уравнения (2); предполагается, что ядро определено в квадрате Ω на плоскости и непрерывно в , либо его разрывы таковы, что двойной интеграл:

имеет конечное значение.

Если то уравнение (2) называется неоднородным; если же , то уравнение (1) принимает вид:

(3)

и называется однородным.

Пределы интегрирования в уравнениях (3) и (2) могут быть

как конечными, так и бесконечными.

Решением интегральных уравнений (3) и (2) называется любая функция при подстановке которой в уравнения последние обращаются в тождества относительно x принадлежащий .

Пример 1. Показать что функция является решением интегрального уравнения Фредгольма:

где ядро имеет вид:

Решение. Левую часть уравнения запишем в виде:

Подставляя в полученное выражение вместо функцию , будем иметь:

Итак, получим , а это означает, согласно определению, что есть решение данного интегрального уравнения.

2.2 Метод определителей Фредгольма

Решение уравнения Фредгольма второго рода:

(4)

дается формулой:

(5)

Где функция , называемая резольвентой Фредгольма уравнения (4), определяется равенством:

при условии что . Здесь и - степенные ряды по λ;

коэффициенты которых определяются формулами:

(9)

причем

(10)

Функция от называется минором Фредгольма, а - определителем Фредгольма. В случае, когда ядро ограничено или же интеграл

имеет конечное значение, ряды (4) и (5) сходятся для всех значений, λ и значит являются целыми аналитическими функциями от λ.

Резольвента

есть аналитическая функция от λ, кроме тех значений λ, которые являются нулями функции

2.3 Пример нахождения резольвенты ядра

С помощью определителей Фредгольма найти резольвенту ядра ;

Решение. Имеем .

Так как определители под знаком интеграла равны нулю. Очевидно, что и все последующие . Находим коэффициенты C_n:

Очевидно, что и все последующие C_n=0. Согласно формулам (7) и (8) в нашем случае имеем:

Таким образом,

Применим полученный результат к решению интегрального уравнения:

Cогласно формуле (5):

В частности, для получаем: