Последовательности Числовые последовательности

Пусть , .

Определение. Функция называется последовательностью действительных чисел.

Значения функции называют членами (элементами) последовательности и обозначают .

Итак, , ,..., то есть каждому натуральному поставлено в соответствие число : .

Последовательность задают, указывая формулу -го члена, т.е. формулу, по которой для заданного номера можно вычислить член . При этом используют обозначение . Говорят также: "последовательность " или "последовательность ", считая букву переменной точкой натурального ряда чисел.

Пример. Пусть формула -го члена последовательности . Здесь , , ... , , ... Последовательность можно записать также в виде

Пример. Последовательность можно задать, указав формулу ее -го члена: . Говорят также: "Задана последовательность ".

Множество всех членов последовательности обозначают .

Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если множество ее значений ограничено сверху, то есть, если .

Определение. Последовательность называется ограниченной снизу, если множество ее значений ограничено снизу, то есть, если .

Определение. Последовательность называется ограниченной, если множество ее значений ограничено, то есть, если , .

Для обозначения ограниченности последовательности используется запись . Символ читается "О-большое от единицы".

Определение. Число называется пределом последовательности , если существует натуральное число такое, что для всех выполняется неравенство .

В этом случае пишут или , .

Определение. Если последовательность имеет предел, ее называют сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Если число является пределом последовательности , то говорят, что последовательность сходится к .

Итак, .

Замечание. Неравенство .

Определение. Интервал называют -окрестностью точки и обозначают . Таким образом,

.

Используя понятие -окрестности точки , определение предела можно сформулировать следующим образом:

.

Иначе, начиная с некоторого номера, все , то есть за ее пределами остается конечное число членов. ( )

Определение. Последовательность расходится, если , , то есть, если любое число не является пределом или иначе: , .

Пример 1⁰. Пусть . Покажем, что .

По принципу Архимеда . Тогда , а это и означает, что .

Пример 2⁰. Доказать, что .

Так как , то , . Отсюда , , . Положим: . Если , то , то есть , следовательно, , что и означает, что .

Пример 3⁰. Доказать, что последовательность расходится.

Берем и пусть . Возьмем и пусть . Тогда и . Оценим для этого : . Так как , где , то .

Итак, , то есть последовательность расходится.

Пример 4⁰. Доказать, что последовательность расходится.

Для произвольного числа возьмем окрестность .

Заметим, что расстояние между любыми двумя соседними членами последовательности равно двум.

, . Если (то есть ), то , то есть . Это и означает, что данная последовательность расходится.