Введение в анализ

Логическая символика

В математике особое место занимают предложения, имеющие форму суждения о рассматриваемых предметах. Такие предложения называют высказываниями, утверждениями, формулами, соотношениями и т.д. Для их записи часто используют символы:

—„и” – конъюнкция

—„или”– дизъюнкция

есть (равно) по определению (: ставится со стороны определяемого объекта)

– отрицание – „не”

Далее будем использовать теоретико-множественные кванторы:

-„л., вс., к.”,(All англ., Any лат.) (общность)

-„существует, найдется” (Exist англ., Existence лат.) (существование)

-„следует”-логический квантор следствия, символ импликации.

Примеры математических высказываний:

меньше

не превосходит

Если -некоторые высказывания, то следующие формулы также являются высказываниями:

из следует ( влечет , имплицирует );

равносильно (эквивалентно)

( символ равносильности (эквивалентности));

; ( или )

; ( и )

отрицание , „не ”, ( );

для каждого (любого) элемента множества А ;

существует(найдется) элемент множества ,для которого высказывание истинно;

существует(найдется) только один элемент множества , для которого высказывание истинно;

Правила построения отрицания для высказывания, содержащего кванторы, даются формулами:

О. Функция называется ограниченной на множестве ,если .

О. Функция называется неограниченной на множестве , если .

, для которого неверно, называется контрпримером для высказывания .

В математике часто используют термины „достаточное условие” (Д.), „необходимое условие” (Н.).Рассмотрим высказывание : достаточное условие для , - необходимое условие для .

Означает, что Н. и Д. для выполнения , a Н. и Д. для выполнения ,

( тогда и только тогда, когда )

( , если и только если )

( равносильно )

К высказываниям применим вопрос: верно ли данное высказывание или при каких условиях оно верно?

Высказывания, которые объявляются истинами теории, называются аксиомами или постулатами. Логические следствия аксиом называются теоремами или леммами. При доказательствах от противного часто используют свойства:

ложь

истина

Элементы теории множеств

Термин „множество” объясняется как совокупность, коллекция, набор некоторых объектов (называемых элементами множества ), объединенных по каким-то общим для них признакам.

Примеры множеств: совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух данных ее точек;

набор из десяти цифр;

множество жен Адама;

множество букв „а” в слове „я” и т.д.

Примерами множеств в математике являются множества натуральных N,

целых Z,

рациональных Q,

вещественных R,

комплексных C чисел.

Множества обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита A, B, …, а их элементы – строчными – a, b,…

элемент принадлежит множеству , в противном случае пишут .

множество состоит из элементов ( и возможно некоторых других, заданных тем или иным способом).

Если множество состоит из элементов , обладающих свойством , то пишут . Например,

Пример предложения:

Если то получим множество - пустое множество множества X (множество, не содержащее ни одного элемента)

Принцип включения множеств (аксиома):

( содержится в , если элемент множества является элементом множества ).В частности, .

Замечание является подмножеством любого множества .

Принцип совпадения множеств (аксиома):

Если и , то говорят, что – собственно подмножество множества и включение строгое.

E:=универсальное множество, которому принадлежат все рассматриваемые в данной задаче множества.

Операции над множествами Пусть .

1.

объединением A и B множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества E , которые содержатся хотя бы в одном из множеств A,B.

A

E

2.

пересечение A и B образовано теми и только теми элементами множества E, которые одновременно принадлежат и A и B.

3.

B

A

E

4. симметрическая разность

B

A

E

5. -дополнение A в E -разность между E и содержащимся в нем подмножестве A.

A

E

Теоремы (свойства операций)

1. , (коммутация);

2 , (ассоциация);

3 , (дистрибутивность);

4. (идемпотентность)

5.

6.

7.

8

9.

10. Правила де Моргана (1806-1871 шотландский математик)

Т.о., (*)

С другой стороны,

, т.е. (**) Из (*),(**)

Д/з: 1)доказать 3;

2) доказать, что

Доказательство 3

О. (x,y):=(упорядоченная пара элементов x и y , в которой x предполагается первым , а y -вторым)

При этом

О. -декартово произведение

y

3

4

Пример 1.

0

1 2 x

y

Пример 2.

x

0

1

1

Декарт Р. (1596-1650) французский философ, физик, математик.

Замечание. .

Пример 2. Найти

О. Множество Г называется бинарным отношением между элементами множеств X и Y, если .

Действительные числа

О. Множество R называется множеством действительных (вещественных) чисел, а его элементы действительными (вещественными) числами, если в множестве R определены:

О.Внутренней бинарной операцией на множестве Е называется отображение

О. Внешней бинарной операцией на множестве Е называется отображение

Множество E, обладающее внутренней бинарной операцией T, называется группой, если:

1)операция ассоциативна

2)имеется нейтральный элемент:

3)всякий элемент имеет симметричный такое, что

Если, кроме того, операция Т коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой.

Если операция Т есть сложение, то группа называется аддитивной

Если операция Т есть умножение, то группа называется мультипликативной.

Предложение, определенное на двухмерный предикат. Из такого предложения можно образовать 8 высказываний.

равносильны

I

Не равносильны

) операции сложения ;

II) операции умножения ∙;

III) отношение порядка .

Иначе говоря: I) паре чисел x и y из R поставлено в соответствие число сумме чисел x и y;

II) паре чисел x и y из R поставлено в соответствие число произведение чисел x и y;

III) для каждой пары чисел x и y из R определено, истинно или нет неравенство .

Эти операции и отношение подчинены системе аксиом:

(I)Аксиомы сложения

1+. В R нейтральный элемент (относительно операций сложения),называемый нулем и обозначаемый символом .

2+. противоположный элемент, обозначаемый .

3+. (ассоциативное сложение)

4+. (коммутативное сложение)

О. Если на G определена операция, удовлетворяющая 1+,2+,3+, то говорят, что есть группа. Если эта операция коммутативна, т.е. выполняется 4+, то группу называют коммутативной или абелевой. (Абель Н.Х.(1802-1829)- норвежский математик) Если эта операция +, то группу называют аддитивной.

Т.о., R является аддитивной абелевой группой.

(II) Аксиомы умножения

1. В R нейтральный элемент (относительно операций умножения)

(1:=единица): .

2. элемент ( := обратный элемент):

3. (ассоциация умножения)

4. (коммутация умножения)

Т.о., R является мультипликативной абелевой группой

(I,II) Связь сложения и умножения

(умножение дистрибутивно относительно сложения)

О. Если на G действуют две операции и , удовлетворяющие всем перечисленным аксиомам, то G называют алгебраическим полем, или просто полем. Без 4. называют телом.

(III)Аксиомы порядка

1 . (рефлексивность)

2 . (антисимметричность)

3 . (транзитивность)

4 . или , или , или то и другое (линейность)

Множество G, на котором выполняется 1 -3 := частично упорядочено, а если сверх того 4 –линейно упорядочено.

(I,III) Связь аксиом сложения и порядка

(II,III) Связь аксиом умножения и порядка

(IV) Аксиомы полноты (непрерывности)

Если X и Y–непустые подмножества R, обладающие тем свойством, что выполняется неравенство , то , что для любых и .

Следствия аксиом

1. В R и в R

О/М.

2. В R противоположный элемент. В R обратный элемент.

О/П для

3. Уравнение в R имеет единственное решение

О/П

О.

4. Уравнение в R\0 имеет единственное решение

О.

5.

В силу единственности нуля

6.

7.

Доказательство из единственности противоположного элемента

8.

9.

10. имеет место в точности одно из соотношений

11.

12.

13.

14. 0<1

◄ 1 R\0, т.е. 1 0

Пусть

По реализуется только одна из возможностей:

.

0 1, 1<0 ведет к несовместимому с ним соотношению 0<1.

Остается единственная возможность, в утверждении, т.е. 0<1►

15.

.

Вещественные и непустые грани числовых множеств (X R)

О. Непустое множество X (X≠ ) называется ограниченным сверху, если , что .

При этом число K называют верхней границей или мажорантой множества X.

О. Непустое множество X называется ограниченным снизу, если , что .

При этом число k называют нижней границей или минорантой множества X.

О. Непустое множество X называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. если для .

О. Непустое множество X не ограничено сверху, если

.

О. Элемент m X называется минимальным (наименьшим) элементом X, если .

Формальная запись: .

О. ( M-наибольший (максимальный) элемент множества X)

Замечание. Не всякое даже ограниченное множество имеет минимальный (максимальный) элемент.

Например, имеет максимальный элемент M=1 и не имеет минимального элемента.

Лемма 1 (Л.1)

Если в X имеется минимальный (максимальный) элемент, то он единственен.

◄ Пусть (1)

(2)

Т.к. X, то из (1)

Т.к. X, то из (2)

Согласно аксиоме порядка 2 . ►

О. Число R называется верхней гранью (точной верхней границей) множества X R, если -наименьшее среди всех чисел, ограничивающих X сверху. Обозначается: sup X или sup x ( supremum X ,лат.)

x X

Итак, ( =sup X)

(В самом деле )

1) означает, что ограничивает множество X сверху (справа),

2) –минимальное среди чисел, ограниченных X сверху, т.е. любое число, меньшее уже не является верхней границей множества X.

О. Число R называется нижней гранью (точной нижней границей) множества X R, если –наибольшее среди всех чисел, ограничивающих X снизу (слева)

Иначе:

x

x

(inf X=inf x, x X infinum X)

Т.о., даны следующие определения

(3)

(4)

Теорема. Если непустое множество X R ограничено сверху, то оно имеет единственную точную верхнюю грань.

◄ ( ): Пусть X R, X , и – множество верхних границ X,. Y . В силу аксиомы полноты и . Т.о., число c является мажорантой X и минорантой Y. Т.к. c– верхняя граница множества X, то c Y и поэтому c y. Следовательно, c=min Y c=sup X.

(Единственность): (!) т.к. c=min Y, то согласно Л.1 ( о единственности минимального элемента) sup X единствен. ►

Теорема. Всякое непустое ограниченное снизу множество X R имеет единственную точную нижнюю грань.

Упражнение.

1. inf{a b}=a sup{a b}=b

2. A B sup A sup B, inf A inf B

3. Всегда ли inf S sup S?

О.Если множество X R не ограничено сверху (снизу), то

sup X=+ , inf X=-

О.Множество =R {- ;+ };, состоит из элементов множества R и двух символов – и + , называется расширением системы действительных чисел (расширение числовой прямой)

При этом считается – x + для x

Для части точек из вводятся операции сложения и умножения:

1)если ,то , , (y≠0) имеют в тот же смысл, что и в R;

2) ; ;

; ;

3)

4)

5)

6)

7)

Остаются неопределенными выражения:

О. ,

О.

О. -расстояние между точками x и y R

Лекция № 3. Натуральные числа

Определение: Множество называется индуктивным, если вместе с числом ему принадлежит также число .

Лемма: Пересечение любого семейства индуктивных множеств , если оно не пусто, является индуктивным множеством.

• 

Определение. Наименьшее индуктивное множество, содержащее 1 (пересечение всех индуктивных множеств, содержащих 1) называется множеством натуральных чисел и обозначается символом .

Элементы называются натуральными числами.

Принцип математической индукции.

Если подмножество Е множества натуральных чисел N такого, что .

1. Сумма и произведение натуральных чисел являются числами натуральными.

   • Пусть покажем, что .

Объявим через

Так как , то (по определению Е).

Пусть , то есть

Так как

Итак, .

2. 

E:= . Докажем, что .

Пусть . При этом .

, где (так как и Поэтому .

Итак, .

3. min .

4.

5. Нет натуральных чисел х, удовлетворяющих условию .

6. и ограничено сверху, то !max E

• По теореме о существовании в грани !sup E= . По определению в грани существует натуральное число n: . Тогда n = max E. Допустим, что это не так. Но тогда Е содержит такое число k, что , то есть k-n положительное целое число, меньшее единицы. Абсурд!

7. N не ограничено сверху. От противного. N - ограничено сверху

max N:=n. Так как , а это противоречит тому, что n - максимальный элемент.

8. Каждое непустое подмножество Е натурального ряда содержит наименьший элемент.

• Так как Е ограничено снизу, то существует inf E= и, стало быть, . Поэтому Е содержит такое натуральное число m, что . Достаточно установить, что m=min E. Допустим, что это не так. Но тогда Е содержит такое число k, что . Следовательно и , то есть положительное целое число меньшее единицы. Абсурд!

Рациональные числа

,

1. Множество Z не ограничено ни снизу ни сверху.

и Х ограничено сверху, то в Х !max X

и Х ограничено снизу, то в Х !min X

Если Х ограничено и сверху и снизу , то в Х !max X, !min X.

3. Z – абелева группа по отношению операции сложения.

4. По отношению к операции умножения Z не является группою.

• Пусть

Пусть то есть , тогда

Тогда

Аналогично для x<0.

- множество рациональных чисел.

Если , где например

Иррациональные числа

Классическим примером иррационального числа является , то есть число такое, что и .

Проверим, что:

1. ;

2. .

1. Пусть

Для , то любой элемент меньше любого элемента . По аксиоме полноты существует число s R такое, что для любого и любого . Покажем, что .

Пусть . , .

Итак, , что несовместимо с неравенством для любого .

Аналогично доказывается, что невозможно. Следовательно, .

2. Покажем, что . От противного и – несократимая дробь.

противоречие с тем, что – несократимая дробь.

Принцип Архимеда (287-212 г.г. до н.э.)

Пусть и x-произвольное вещественное число . Тогда найдется единственное целое число k такое, что .

• . Е ограничено снизу числом и, следовательно, имеет минимальный элемент: min E=k. Так как , то , иначе k не является минимальным элементом, поэтому .

Итак, .

Поскольку , .

Единственность элемента вытекает из единственности минимального элемента числового множества.

Следствие №1:

.

По принципу Архимеда

Так как 0<1, , то есть и

Следствие №2:

Если , то x = 0.

Следствие №3:

Следствие №4:

.

Итак, .

Отображения

Пусть Х,У – множества производных природы (какие – то множества).

Определение: Отображением множества Х в множество У, или функцией, з

данной на Х и принимающей значения в У, называется правило или закон

функции, который каждому элементу ставит в соответствие ровно

один элемент . ( ). Обозначается или .

Пусть – произвольное отображение функции

1. Множество Х называется областью определения отображения и обозначается D(f).

2. Множество У – пространство значений отображения .

3. Элемент f(x)=y называется образом элемента х при отображении или значением функции в точке х ( переводит х в ).

4. Образ множества S – это множество .

Множество – множество значений отображения . Ясно, что .

Пример:

1. 

2. замкнутый луч.

3. 

5. Прообразом точки у при отображении называется множество элементов

Замечание: может быть пустым, содержать не менее одного элемента, содержать ровно один элемент.

6. Прообразом множества Т при отображении называется множество

7. Множество или называется графическим отображением функции .

Итак, для того, чтобы задать функцию , нужно:

1. определить D(f) или X;

2. указать множество её значений У;

3. описать соответствующее y=f(x), то есть указать, чему равно значение f(x) этой функции в каждой конкретной точке

Упражнения

Доказать, что