2. Определение теоретического значения постоянной тонкой структуры (константы электромагнитных взаимодействий)

Постоянная тонкой структуры α наряду со скоростью света, постоянной Планка, зарядом и массой электрона входит в число фундаментальных физических величин – мировых констант.

Величина постоянной определяется равенством:

α = е²/2ε₀ сh, (2.1)

где е- элементарный электрический заряд;

ε₀ – электрическая постоянная;

с – скорость света в вакууме;

h – постоянная Планка.

Так как исходным пунктом возникновения понятия о постоянной тонкой структуры явилась плодотворная идея Зоммерфельда об эллиптических орбитах электрона в атоме водорода, приведшая к открытию расщепления спектральных линий, то для теоретического определения численного значения величины α обратимся к истокам и рассмотрим с учётом идеи Зоммерфельда происходящий с изменением движения злектрона процесс кулоновского взаимодействия электрона атома водорода с его ядром. Примем, что атом водорода возникает в результате распада свободного нейтрона.

Представив действие S процесса как произведение полной энергии Е_полн. электрона на некоторое характерное время процесса t, с учётом (1.4.1) можем написать:

S = Е_полн. ∙ t = k ħ (k = 1,2,3…) (2.2)

Для анализа процесса взаимодействия необходимо выбрать модель электрона в атоме, в наибольшей степени соответствующую физической реальности.

Представим, что масса m_e и электрический заряд е электрона “размазаны” в пространстве вдоль некоторого эллипса, в одном из фокусов которого размещается протон. Второй фокус эллипса при этом пустой. Примем, что развёрнутая длина эллипса равна длине дебройлевской волны электрона. Непрерывно распределённая масса электрона движется по эллипсу таким образом, что момент импульса массы m_e равен ħ. Материя электрона, “размазанная ” по эллипсу, растягивается центробежными силами инерции, действующими на массу электрона, а неразрушимость (упругость) , “размазанного ” электрона обеспечивается кулоновскими силами притяжения между электрическими зарядами электрона и протона. Так как существования электрических зарядов меньших единичного (электронного) в экспериментах не обнаружено, то естественно предположить, что кулоновского взаимодействия между элементарными частями размазанного единичного заряда электрона не существует. Однако физически неделимый заряд может быть разделён на элементарные составляющие математически. Ещё древнегреческий философ Левкипп, рассуждая о пределах делимости материи, предположил – то, что ещё делится математически, физически может быть уже неделимым.

Механическим аналогом предлагаемой модели злектрона в атоме водорода служит натянутая замкнутая колеблющаяся струна, гидромеханическим – вращающееся вихревое кольцо. С непрерывным распределением массы и заряда электрона вдоль эллипса естественным образом согласуется существующая торовая модель свободного электрона.

В пользу выше описанной модели электрона в атоме водорода говорят её согласованность с получившей опытное подтверждение идеей Зоммерфельда об эллиптических орбитах электрона, с лежащей в основании квантовой механики идеей волны электрона де Бройля и обоснованность использования именно в такой модели основного уравнения квантовой механики, волнового уравнения Шредингера, которое формально ничем не отличается от уравнения колебаний нагруженной струны.

Кулоновское поле заряда протона е_р = е обладает центральной симметрией, и движение электрона в таком поле можно считать плоским, что позволяет использовать для рассмотрения движения электрона полярную (r, φ ) и цилиндрическую (z, r, φ) системы координат с началом в центре ядра атома.

Так как потенциальная энергия заряда е электрона в поле заряда е_р протона определяется с точностью до аддитивной постоянной, то при соответствующем выборе уровня нормировки потенциальной энергии [4] уравнение полной (суммы кинетической и потенциальной) электрона может быть записано в виде:

m_e е

½ ∫(v _φ ² + v _r ²) dm - е_р/4πε₀ ∫ 1/ r de = 0, (2.3)

0 0

где v _φ и v _r – соответственно, окружная и радиальная составляющие абсолютной скорости массы dm;

r - радиус расположения заряда de.

Использование правил сложения скоростей и теоремы о среднем интегрального исчисления позволяет получить из (2.3) уравнение для полной энергии электрона в атоме водорода в виде, дающемся в институтских курсах общей физики.

Из закона сохранения энергии следует равенство кинетической и потенциальной энергий Е электрона и их изменений для любых моментов движения.

С учётом (2.3) уравнение (2.2) может быть записано в виде двух эквивалентных уравнений квантования действия S₀ для процессов равных изменений ∆Е кинетической и потенциальной энергий Е электрона:

m_e

S₀ = t/2 ∫(v _φ ² + v _r ²) dm = k ħ (k = 1,2,3…); (2.4)

0

е

S₀ = е_р t /4πε₀ ∫ 1/ r de = k ħ (k = 1,2,3…). (2.5)

0

Уравнения движения элементарных масс определяются законами механики Ньютона. Поле центробежных сил инерции и кулоновское поле заряда протона являются потенциальными. Для потенциальных сил известны решения и общие свойства решений уравнений движения. Линии тока поля скоростей элементарных масс и связанных с ними элементарных зарядов, движущихся в потенциальных силовых полях с соблюдением законов сохранения энергии и момента импульса, согласно решениям уравнений механики сплошных сред для таких движений, представляют собой логарифмические спирали.

В полярной системе координат уравнение логарифмической спирали имеет вид:

r = r₀ exp (φ ctg β), (2.6)

где r – текущий радиус спирали;

r₀ - начальный радиус спирали;

β – угол между касательной и радиусом-вектором спирали.

При установившихся движениях линии тока совпадают с траекториями частиц. При потенциальном движении по логарифмической спирали ctg β = const и равен отношению радиальной и окружной скоростей. Круговые и радиальные движения являются частными случаями спиральных движений при ctg β = 0 и ctg β = ∞, соответственно.

Согласно квантовой теории, взаимодействие зарядов электрона и протона осуществляется путём обмена виртуальными фотонами. Так как в принятой модели электрона каждый элементарный заряд de связан с элементарной массой dm, то при действии центробежных и кулоновских сил траектории невозмущённых движений элементарных масс и зарядов искажаются, и общими траекториями движения становятся деформирующиеся эллипсы, представляющие собой суперпозицию траекторий невозмущённых круговых движений и индуцированных обменным взаимодействием движений по логарифмическим спиралям от протона и к нему.

Естественно, что к электрону в атоме, как к целому, понятие о движении по траектории или линии тока неприменимо.

Если учесть, что индуцированные обменным взаимодействием изменения радиальной и окружной скорости связанных элементарных масс и зарядов происходят одновременно и при соблюдении законов сохранения энергии и момента импульса равны между собой, то для индуцированного движения по логарифмической спирали ctg β = const = 1, и (2.6) в этом случае может быть записано в виде:

r = r₀ exp φ. (2.7)

Движениям элементарных масс и зарядов от центра атома в (2.7) соответствуют положительные значения φ, а к центру – отрицательные. Индуцированное спиральное движение в свою очередь представляет собой суперпозицию радиального и кругового движений.

Используя термины планетарной модели атома, предложенной Э.Резерфордом, можно сказать, что движущиеся по эллиптической орбите элементарные заряды и массы начинают своё движение от центра атома в перигелии, а к центру – в афелии. В связи со сказанным, перигелий следует считать точкой поглощения обменного фотона, а афелий – испускания. Перигелий и афелий эллипса, будучи точками приложения импульсов фотонов, являются точками возбуждения колебаний в электроне – “упругой натянутой струне”, а поглощаемые и испускаемые фотоны – источниками возмущающих сил, вызывающих колебания распределённых вдоль эллипса массы и заряда электрона. Колебания заряда и массы электрона выражаются в изменении окружных и радиальных скоростей его элементарных зарядов и масс. С началом поглощения фотона элементарная масса и связанный с ней элементарный заряд получают радиальный импульс и начинают удаляться от протона. С началом испускания фотона в афелии начинается движение de и dm к протону.

Моменты поглощения и испускания обменных фотонов сдвинуты по фазе: испускание фотона в афелии начинается с запаздыванием на полпериода относительно начала поглощения в перигелии. За период 2π происходит распределение по эллипсу массы, импульса и энергии поглощаемого в перигелии фотона, и дважды (в связи со сдвигом фаз) за рассматриваемый период происходит испускание “половин” двух фотонов, поглощаемых в двух следующих друг за другом периодах.

В абсолютной системе координат, связанной с неподвижным протоном, перигелий и афелий эллипса прецессируют – перемещаются в направлении, противоположном движению элементарных масс и зарядов. В системах координат, связанных с прецессирующими перигелием и афелием, это движение за период равносильно перемещению протона по некоторой кривой из прежнего фокуса в пустой.

Исходя из условий образования и аннигиляции электронно-позитронных пар, есть основания полагать, что фотон, поглощаемый электроном в точке наибольшего сближения с ядром атома, является образующимся в ядре и испускаемым им аннигиляционным фотоном, масса которого m_ф эквивалентна двум массам покоя электрона. Из законов сохранения следует, что при поглощении фотона электроном и последующем криволинейном движении субстанций фотона его электромагнитная масса преобразуется в массу покоя, т.е. по существу увеличивает гравитационную массу движущегося электрона.

Для определения величины действия в индуцированных обменным взаимодействием процессах движений элементарных зарядов электрона по расходящимся и сходящимся логарифмическим спиралям рассмотрим изменение входящих в (2.5) величин в относительном движении в связанных с перигелием и афелием системах координат. Определение величины действия в относительном движении и только для заряда электрона позволяет избежать необходимости определения скоростей движения и сил инерции. В связи с равенством потенциальной энергии электрона, зависящей от его заряда и кинетической энергии, зависящей от его массы (2.3), чтобы вычислить суммарную величину действия будет достаточно просто удвоить полученную величину действия при изменении движения заряда.

Примем цилиндрическую систему координат с началом в центре ядра атома и осью z, перпендикулярной плоскости орбиты электрона. Свяжем координатную плоскость zor с движущимся перигелием. В этой системе координат перигелий неподвижен, его радиус r = r_min = const, через координатную плоскость zor (φ = 0) проходит поток распределённого заряда электрона, а все элементарные заряды de при прохождении через перигелий обладают одинаковой потенциальной энергией. Относительное движение в перигелии установившееся.

Так как, согласно Ньютону, время существует само по себе и протекает непрерывно и равномерно, то периоды и протекание времени в абсолютном и относительном движениях одинаковы.

В произвольный момент времени t = 0 в перигелии начинается поглощение фотона. За период φ = 2π транзитная масса 2 m_е виртуального аннигиляционного фотона окажется вместе с зарядом и массой электрона “размазанной”по длине эллипса, а через координатную плоскость zor пройдёт полный заряд электрона.

Аналогично с выше рассмотренным, если связать координатную плоскость zor с движущимся афелием (φ = -π), то в этой системе координат афелий неподвижен, его радиус r = r_max = const, через координатную плоскость zor (φ = -π ) проходит поток распределённого заряда электрона, а все элементарные заряды de при прохождении через афелий обладают одинаковой потенциальной энергией. Относительное движение в афелии установившееся.

В момент времени, соответствующий φ = -π от окончания поглощения фотона в рассматриваемый период (или от начала поглощения следующего фотона) в афелии начинается испускание фотона в направлении протона. Как указывалось выше, за рассматриваемый период поглощения одного фотона происходит испускание 2-х “половин ” 2-х последовательно поглощаемых фотонов. В действительности обменный процесс взаимодействия электрона с протоном является непрерывным, а периодичность процесса определяет квазиквантовый характер взаимодействия.

Отметим, что в связи с запаздыванием начала испускания обменных фотонов от начала поглощения на полпериода движущаяся вокруг протона частица неадекватна невзаимодействующему с ядром электрону. Она обладает зарядом е электрона и массой 2m_е, эквивалентной двум единичным электронным массам.

Наличие целочисленной переменной в правой части уравнения (2.5) предполагает при вычислении действия суммирование по изменяющимся величинам в левой части уравнения. Очевидно, что суммирование необходимо проводить по заряду электрона, протекающему через связанные с перигелием и афелием координатные плоскости zor и времени.

Так как протекание времени и периоды поглощения (испускания) фотона в абсолютном и относительном движениях одинаковы, то для определения суммарного времени взаимодействия элементарных зарядов de в процессах поглощения и испускания фотонов воспользуемся уравнением (2.7) для траектории движения элементарных зарядов de. Тем самым можно будет учесть, что в абсолютном движении элементарные заряды de и связанные с ними массы dm движутся с соблюдением законов сохранения энергии и момента импульса.

Возникновение обменного взаимодействия зарядов определяется расстоянием между точками поглощения и испускания фотонов в протоне и указанными выше особыми точками испускания и поглощения “размазанного” по эллипсу электрона. Время взаимодействия в относительном движении определяется параметрами траектории элементарных зарядов de в абсолютном движении и скоростью электромагнитного взаимодействия, равной С.

Если пренебречь размерами протона и принять его в первом приближении точечным со сверхплотной упаковкой материи в нём, то, принимая во внимание, что движение по расходящейся и сходящейся спирали представляет собой суперпозицию радиального и кругового движений, величина действия S₀, связанная с индуцированными обменным взаимодействием радиальными и круговыми движениями элементарных зарядов de, в соответствии с (2.5) и (2.7) определится выражением:

2π 2π - π

S₀ = е² /4πε₀ r_min c ∫ r_min expφ dφ + r_min /c ∫ dφ ) + е² /4πε₀ r_max (2 r_max /c ∫ exp φ dφ +

- ∞ 0 -∞

π

+ 2 r_max /c ∫ dφ ) =

0

2π - π 2π π

= е² /4πε₀ c (∫ exp φ dφ + 2∫ exp φ dφ +∫ dφ + 2 ∫ dφ ) = k ħ (k = 1,2,3…). (2.8)

- ∞ -∞ 0 0

Приняв протон точечным и положив поэтому значения нижних пределов в интегралах радиальных движений в (2.8) равными -∞, мы тем самым вносим неточность в определение времени и заведомо огрубляем будущий результат.

После интегрирования (2.8) и последующего преобразования с учётом (2.1) и известного соотношения ħ = h/2π получим уравнение для теоретического значения постоянной тонкой структуры α в первом приближении:

α = е²/2ε₀ сh = к /( exp 2π + 2exp (-π) + 4π) (2.9)

Для вычисления значения α необходимо определиться со значением к в (2.9). Изменение движения электрона, индуцированное обменным взаимодействием, сопровождается изменением полной энергии электрона. Из проведённого выше анализа процесса взаимодействия следует, что взаимодействующий с протоном электрон обладает зарядом е и массой 2m, эквивалентной двум единичным массам невозбуждённого взаимодействием электрона. С квазиквантовым удвоением массы электрона соответственно вдвое увеличивается и кинетическая энергия электрона. Примем, что такому изменению кинетической энергии электрона соответствует минимальное значение действия процесса, равное ħ. В связи с равенством изменений кинетической энергии электрона, зависящей от его массы и потенциальной энергии электрона, зависящей от его заряда (2.3), увеличению потенциальной энергии электрона вдвое будет соответствовать значение действия процесса, также равное ħ. Уравнение (2.9) получено на основании рассмотрения изменения только потенциальной энергии электрона. Так как суммарная величина действия S пропорциональна изменению полной энергии электрона, то для вычисления значения α , соответствующего значению S, необходимо в (2.9) положить, что к = 4.

Из (2.9), произведя вычисления, получим в первом приближении теоретическое значение α_т постоянной тонкой структуры:

α_т = 7,2973465∙10^-3.

Вычисленное значение α_т совпадает с экспериментальным значением постоянной тонкой структуры с погрешностью ≈ 5,8∙10^-7. Полученный результат можно было бы считать удовлетворительным, однако значение α_т не укладывается в доверительный интервал экспериментального значения α_э постоянной.

Ранее, при написании (2.8), предусматривалась вероятность уменьшения точности вычислений из-за принятого допущения о размере протона. Малая относительная погрешность (0,45∙10^-7) экспериментального значения α_э позволяет, приняв математическое ожидание высокоточного экспериментального значения за значение α_т постоянной, вычисляемое на основании (2.8), уточнить нижние пределы (-∞) в интегралах уравнения (2.8).

Используем для расчёта два последовательно уточнявшихся экспериментальных значения 1/ α_э :

1/ α_э = 137,03597 и 1/ α_э = 137,035963.

Значение нижнего предела, при котором обеспечивается равенство 1/α_т = 1/ α_э , будем искать в виде: -Аπ.

Проведённые вычисления дают два значения А:

А = 2,7253 и А = 2,7101.

Среднее значение А по результатам двух вычислений равно ≈ 2,718. Математическим ожиданием полученной на основании высокоточных опытных данных величины А является численное значение основания натуральных логарифмов е (2,718281828).

Положив А = е, получим, что значения двух нижних пределов в интегралах радиальных движений в (2.8) равны - е π, а последовательно повторив выкладки, получим уравнение для точного теоретического значения постоянной тонкой структуры:

α = е²/2ε₀ сh = 4 /( exp 2π+ 2 exp (-π) - 3 exp (-е π) + 4π). (2.10)

Проведя вычисления, из (2.10) получим:

1/α = 137,0359668.

Вычисленное теоретическое значение 1/α лежит в доверительных интервалах опытных значений постоянной.

Попутно отметим, что определение точного теоретического значения постоянной тонкой структуры частично решает проблему нахождения наиболее достоверных и взаимно согласованных значений фундаментальных физических постоянных на основе имеющихся аналитических зависимостей и экспериментальных данных, полученных с использованием различных измерительных средств и методик и независимых функциональных связей. Так как, например, постоянная тонкой структуры α входит в формулу для вычисления g_e-фактора (отношения спинового момента электрона к магнетону Бора) по законам квантовой электродинамики и независимо от этой теории в формулу квантового сопротивления Холла, то полученный результат позволяет уточнить значение величины R_H квантового сопротивления: R_H = h/e² = 1/2αε_оС.