4. Формула полной вероятности.

Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий образующих полную группу событий, и называемых гипотезами. Пусть известны вероятности этих событий  и условные вероятности наступления события А при наступлении события Hi

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из событий, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А, т.е.

формула полной вероятности.

Пример. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

Решение.

События, заключающиеся в том, что стрелял 1, 2, или 3 стрелок, являются гипотезами, вероятность которых одинакова и равна

Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

для первого стрелка:

для второго стрелка:

для третьего стрелка:

Искомая вероятность по формуле полной вероятности равна:

5. Формула Байеса

_При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А. вероятность которого следовало определить, могло произойти с одним из событий _{образующих полную группу, при этом вероятности указанных событий были известны заранее. Предположим, проведено испытание и событие А наступило. Это может изменить вероятности гипотез.}

По теореме умножения вероятностей

Откуда

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как - априорными вероятностями.

Пример. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей с первого цеха и 10 деталей со второго. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она из цеха №1?

Решение

Рассмотрим следующие события:

А= «деталь оказалась бракованной».

Гипотеза Н₁= «деталь изготовлена в 1-м цехе»; Р(Н₁) = 2/3

Гипотеза Н₂= «деталь изготовлена во 2-м цехе»; Р(Н₂) = 1/3

Условные вероятности события А: P(A/Н₁)=0,05; P(A/Н₂)=0,04

Требуется найти вероятность первой гипотезы в предположении, что событие А уже произошло:

P(H₁/А) - ?

Используем формулу вероятности гипотез Бейеса, подставив в знаменатель формулу полной вероятности:

6. Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно.

Пусть проводятся независимые испытания (такие, при которых вероятность появления события в каждом испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний), в которых вероятность наступления интересующего нас события A постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что рассматриваемое событие появится ровно m раз при n испытаниях (безразлично, в каком порядке), вычисляется по формуле, которая называется формулой Бернулли:

Для реализации схемы Бернулли необходимы два условия:

1) независимость проводимых испытаний;

2) p = const (постоянное значение вероятности появления события)

Пример

Система, составленная из четырёх блоков, работает исправно, если за рассматриваемый период выйдет из строя не более двух блоков. Найти вероятность безотказной работы системы блоков, если отказы блоков являются независимыми событиями и вероятность отказа каждого блока равна 1/8.

Решение

Событие А= «Выйдет из строя не более двух блоков» - означает, что произойдет одно из событий:

А_4,0= «За рассматриваемый период ни один из блоков не выйдет из строя»,

А_4,1= «Выйдет из строя один блок»,

А_4,2= «Выйдут из строя два блока», т.е.

А= А_4,0+ А_4,1+ А_4,2

Вероятности этих событий:

Вероятность безотказной работы системы: