7.2. Ритцтың әдiсiнiң ортақ схемасы

(7.1 ) есептiң шешiмi түрлерде iздейдi(7.6).

Мұндағы - базистік функция, шектi шарттарға қанағаттандырады,ал -де . Егер (7.6 ) жинақтауда шексiздiкке дейiн болса, онда бұл формула (7.1 ) есептiң дәл шешiмiн бередi. Базистiк функциялардың түпкi санын қаралғандықтан, онда тек қана жақын шешiм аламыз. Ритцтың әдiсi үшiн базистiк функциялардың мысалы тригонометриялық негiз қызмет көрсете алады, р жақын шешiм ретінде Фурьенiң қатарының түпкi кесiндiсiн аламыз.

(7.6)ны (7,3)-ге коямыз

Шарттан (7.7)ден функцияның минимумын табамыз

C_к тың коэффициенттерiн анықтауы үшiн N сызықты теңдеулер жүйесiн аламыз. Содан (7.6 ) есептiң шешiмi деп жариялаймыз.Тура (7.4 ) функционал үшiн де солай істейміз. Коэффициенттердiң анықтауы үшiн теңдеулердiң жүйесiндегi сан ол да N (бiр-ақ индекстi базистiк функцияда болады!). Функционалдың түрi ұқсас (7.7 ) болады , бiрақ кесiндi бойынша интегралдар орынына кеңiстiктiң қаралатын облысы бойынша екi есе шығын интегралдар тұрады, ал туындылар орынына - градиенттер.

Ритцтың әдiсiнде пайда болатын бiрiншi мәселе қолайлы негiздiң таңдауы. Функциялардың жиыннан сияқтысы шешiмге тәуелдi болады ма? Қатені қалай бағалайды?

Негiздiң екi түрлерi болады: Ритцтың әдiсi және финит сақтаушысы бар функциялардың негiзi үшiн глобалдi негiз.

Ритцтың әдiсi бойынша шешiмдер тура болу үшiн, және сызықты комбинация бар болу ,қажетті және жеткілікті. Егер есептелу дұрыс болса:

Ритцтың әдiсiндегi қолдану үшiн мүмкiн негiз

q = 1, ..., N.

Мүмкiн негiздер [0, 1] кесiндiде: мұндағы T_j(x) — j –Чебышев полиномы.

Ритцының әдiсiнiң негiзi бойынша жiктеудің коэффициенттерiн анықтау үшiн сызықты теңдеулер жүйесiнiң матрицасы толтырылған болады.

Ритцтың әдiсiнiң технологиялықтығы төмендегiдей болады. Тиiстi жүйенiң матрицасы диагоналдi басымдылықпен өздiгiнен түйiскен негiздiң дұрыс таңдауында болып табылады. Жылдам қиындасатын итерациялық әдiстермен жүйенi шешуге болады.

7.2-шi сурет.

Финит сақтаушысы бар функцияларды Ритцт әдiсiнiң вариантының қарапайым тасушылар негiздi қолданып қарап шығамыз. үшiн x-тiң нүктелерiнiң жиыны функцияның сақтаушысыекенін ескеремiз. (торды ) x_j дың нүктелерiнiң [0, X] кесiндiсiнiң бөлiктеуiн енгiземiз: 0 = x0 x1.. < xn = X. Базистiк функцияларды саламыз:

екеніне сенуге болады. Интеграл және туындылар маңызды қорытылған функциялармен анықталады - негiздiң кемшiлiгi! Бұл негiздiң қадыры базистiк функциялар ортогональ болып табылады.

болсын

Сонда

Ал қалған скалярлық көбейтулер 0-ге тең.

Сонымен бiрге базистiк функциялардың туындыларының интегралдарын оңай алу жеткiлiктi. Әрбiр мұндай базистiк функцияның сақтаушысы түпкi элемент деп аталады, мұндай негiздiң қолдануы бар Ритцтың әдiсi - ШЭӘнiң отбасында бiрiншi әдiсi. Сонымен бiрге кейде түпкi элементпен финит сақтаушысы бар өздiк базистiк функциялар деп атайды.

7.3. Галеркиннiң проекциялық әдiсiнiң тұжырымы

есептi бұрынғыша қараймыз (7.1 ) және (7.2 ).

Дифференциалды операторлардың классын ендiгәрi қарап шығады. Ритцтың әдiсiнiң бас жетiспеушiлiгi - тек қана вариациялық тұжырым рұқсат ететiн дифференциалды есептерге қолданылғыштық, яғни сызықты жағдайда - өздiгiнен түйiндендiр оң нақтылы (барлық меншiктi сандар оң болу) оператор.

Қатар (7.1 ) және (7.2 ) тұжырыммен жазуды пайдаланып (қорытылған ) әлсiз шешiм анықтайтынбыз:

(7.8)

Мұндағы,v - қарастырылған бұрын функционалдық кеңiстiктен кез келген функциясы, скалярлық көбейту сияқты анықталған.

(7.8 ) теңдiк есептiң қорытылған шешiмiн анықтайды. егерi U- белгiлi есептiң классикалық шешiмi болса, онда ол (7.8 ) –дің қорытылған шешiм болып табылады. Керiсiнше, түсiнiктi себептер бойынша, қате - C1 немесе C2ге қарағанда функциялар "көбiрек". Есептерде қорытылған шешiм бола алады, бiрақ классикалық болмайд.

Енгiзiлген негiзi бар кеңiстiктiң шектi өлшемдi iшкi кеңiстiгiн қарап шығамыз:

- дағы базисті функция. олар Ритцтың әдiсi үшiн базистiк функциялар қасиеттеріне ие болуы керек. Таразының функцияларының түпкi жүйесi (7.8 ) үшiн ендi қарап шығамыз: . (7.8 ) орынына таразының функцияларына проекциялардың түпкi жүйесiн қарап шығамыз.

сонымен бiрге белгi енгiземiз

(7.9)

R бұл жерде - байланыссыздық. сонда (7.8 ) базистiк функциялар бойынша, жiктеудiң алмастыруларынан кейiн, байланыстардың жүйесiн аламыз

(7.10)

кеңiстiктегi байланыссыздықтың минимумы , Функциялармен анықталатын байланыссыздыққа жетедi егер оның ортогональ қосымшасына жатып анықталатын болса: барлық kтар үшiн. Ендi табиғи негiз таразының функциялары бар базистiк таразының функциялар ретiнде қолдануға құрастырылған Галеркиннiң проекциялық әдiсiн алу үшiн талап етiлуі керек.

Түпкi элементтерден негiзi бойынша жiктеудiң коэффициенттерiнiң анықтаулары үшiн жинап келгенде түрдiң байланыстарының жүйесiн аламыз

Немесе матрицалық түрде

Бұл байланыстар коэффициенттердiң Ритцтың әдiсi үшiн теңдеулер жүйесiнiң қорытындысында пайда болады.

сызықты дифференциалды оператордың түйiндестiгiн скалярлық көбейтулердi есептеуде қолданылды . оператордың өздiгiнен түйiндестiгi (7.10 ) байланыстың қорытындысында қолданылмады! Демек Галеркиннiң әдiсi несамосопряженного жағдайға және сызықты емес! жалпылауға болады) дифференциалды оператор. "Функциялар - қақпақтар" жоғары енгiзiлген қолдануларда базистiк функциялар ретiнде ШЭӘ вариант аламыз. (7.1 ) және(7.2 ) есептер үшін Ритцтың әдiсi не сол әдіс бередi байланыс береді.