4.6. Өз бетімен шешуге арналған есептер
1. Риман толқындары
Мiнсiз сығатын сұйықтықтың бiр өлшемдi қозғалыстарындағы теңдеулерiн баробағытталған процестер жағдайдағы сызықты емес жүйені жазып аламыз. Ол Эйлер теңдеуінен тұрады:
үзіліссіз теңдеуі
және баротроптықтың шарты
Бұл
теңдеу
тығздығын және x коордтнатасымен t
уақытына тәуелді u жылдамдығын анықтауға
мүмкіндік береді. Жүйе
ғана тәуелдi болып тұрған шешiмге ие
болмайды, бiрақ мүмкiн болатын жазық
толқын болып келетін бұл жүйенiң шешiмі
жалпы түрде
болады. U жылдамдық
тығыздықтың
функциясы болып келетін жүйенiң
шешiмдерiн iздеймiз. Теңдеулердiң жүйесінiң
шешiмдері Риман шешiмдері деп аталады;
бұл шешімге байланысты қозғалыс
шешімдері Риман тоқыны
деп аталады.
Ағыс бойындағы жылдамдықты мына формуламен есептеуге болаиынын дәлелдеу керек
деп
белгілейміз
c = u + a шамасын енгіземіз. Физикалық мағынада c қандай шамаға ие болады?
Тығыздыққа бастапқы профиль берiп,
үшiн
сандық түрде шешу теңдеуді шешу.
кемелденген газдың адиабаталық қозғалыстарын жағдай үшiн
(
):
Өз бетінше тығыздықтың қысымға қатысты бірнеше шамалар беру
.
шешімінің өзгерісін жазу. Тығыздықтың секіріс кезінде сандық әдіске қандай талаптар қойылытынын көрсет. Риман толқынының қысылуы болмайтын
шмамны табу. Алынған ара қатынасқа
физикалық түсiндiрме беру. Алынған
тәуелдiлiкте
ағыстың сандық есептеуiн беру.
Риманның қарастырылған шешiмдерi үшiн тура сипаттамалардағы топтар ие болған шешiмдерді анықтауға болатынын дәлелдеу.
Риманның орталанғн толқындарына шартын қою,
болғанда.
Бұл типтегі ағыс- автомоделдi ағыстардың дербес жағдайы,тәуелсіз айнымалылар комбинациясына тәуелді болатын шешімдер. Риманның ортаға келтiрiлген толқындарының таралуын ерекшелiгiнiң сандық есептерiне мысал келтiру.
1. Айырымдық сұлбалардың берілуінің ағынды формасы. Бір өлшемді сызықты тасымалдау теңдеуін қарастырамыз
"Сол бұрыш" және "оң бұрыш" схемалары арқасында тасымалдау бағытына тәуелсіз жақындатамыз:
Жоғарыда келтiрiлген өрнектердiң жазылуын топтастырып, схеманы былай жазуға болады:
Белгiлеу
енгiзсек,
,
жоғарыда келтірілген өрнек төмендегі
түрге келеді:
немесе
Айырымдық
сұлбаны ағымдық түрде беру үшін, уақыт
бойынша келесі қабатта берілгендер
мына түрде болатындай
етіп,
функцясын
енгіземіз.
Бұдан
Айырымдық сұлбаның берілуінің жалпы ағымдық түрі
мұндағы
Cондай-ақ екі параметрлі айырымдық сұлбаларды енгізейік
.
Бұнда ағымдар А тасымалының бағытынан тәуелді анықталады. Сонымен қатар олар келесі параметрлердің мәндерінен тәуелді болады:
Гибридті сұлбалар
Гибридті айырымдық сұлбаны құру үшін келесі берілгендерді қарастырамыз ( a > 0 ):
мұндағы
гибридтілік
параметірі. Шешімі үлкен градентті
облысты есептеуде қолданылатын айырымдық
сұлбаның реті осы параметрден тәуелді
болады.
|
|
болғанда
сұлба бірінші
ретті
дәлдікті, ал
-ның кез келеген үлкен мәндерінде -
екінші ретті болады. Бұл сұлба үшін
аппроксимация ретін үшіншіге дейін
көтеруге болады:
Ағындарды қорыта отырып, ағымдық формада жазылған сұлбаны гибридті етуге болады:
егер
тегіс
шешім
облысында
және шешімі үлкен градиентті облыста
"Тегіс" және "тегіс емес"
шешімдер арасындағы ауыстырғышты
(5.1)-ге үйлестіріп құруға болады.
7 Дәрiс: Шектi элементтер әдiстерi туралы ұғым:
Дәрiс шектi элементтер әдiстерiнiң класы туралы бiрiншi ұғымды бередi. Вариациялық және проекциялық есептiң қойылуларын тура келедi. Тұрақты және тұрақты емес есептерге ШЭӘ қолдану қаралады. Шектi элементтер әдiстерiнiң орнықтылығының сұрақтары тұрақты есептердiң шешiмiнде қысқаша талқыланады. Математикалық физиканың көп өлшемдi есептерiнiң шешiмiне шектi элементтер әдiстерiнiң қолдануын ортақ схемасы қаралады.
шектi элементтер әдiсiнiң негiзгi идеясы, Бубнов, Галеркин және Ритцтiң әдiстерінде негiзделген, 1943 жылы Р.Курант ұсыныс жасаған бірақ көзге түспеген, тәжiрибенiң қажеттiгiн озған . Бiрiншi компьютерлердiң пайда болуымен 50-шi жылдарындағы интегралдауды төменгi облыстарда бөлiнетiн күрделi геометриясы бар есептердiң сандық шешiмiне жаңа инженерлiк жолдарының өңдеуiндегi қажеттiлiк пайда болды. Мұндай (финит базистiк функцияларының сақтаушылары, бұл туралы төменде) төменгi облыстар және түпкi элементтердiң атауларын алды.
Сурет 7.1
шектi элементтер әдiстерi (ШЭӘ ), қазiргі кезде,сандық әдістер әлімнде ең көп таралған. Олардың жақсыларына жатады:
1. күрделi геометрияның облыстары үшiн бiр қалыпты емес торлар, екi өлшемдi және үш өлшемдi жағдайлардағы есептiң мүмкiндiгi;
2. (түзету бұдан әрi) әдiстер "технологиялықтық".
Қазiргi ШЭӘлер XX ғасырдың 50-шi жылдарында серпiмдiлiк теориясының есептерiнiң шешiмiнде пайда болды.
Өзi таралған статикалық есептер - жүктелген конструкция туралы есеп.
а облыс - күрделi. Мысалы, облыс 7.1-шi сурет көрсетiлген түрдi иемдене алады. Әрбiр жай облыс - түпкi элемент.
ШЭӘге дәл қазiр (Ритц ) және (Галеркин немесе Бубнов - Галеркин) проекциялық әдiстердiң вариациялық отбасы деп түсiнедi.
|
(7.1) |
|
|
|
|
(7.2) |
|||
Бұл есептер әлпеттес: (7.1 ) бiр өлшемдi жағдай (7.2 ) ортақ есептен астам болып табылады. (7.1 ) теңдеулер (7.2) және өздiгiнен түйiндендiр формада жазып алған. (7.1 ) есептерге шарт қоямыз (7.2 ) және функционалдар сәйкестiкке
|
(7.3)
|
|
және |
|
(7.4) |
Нормамен (Соболева кеңiстiк) функцияларының кеңiстiгiн қараймыз
Бұл- шектелген интегралы бар функция. 5-шi теорема. барлық функцияларының арасында, есептiң шешiмiнiң шектi шарт жеткiлiктi (7.1 ) (7.3 ) функционалға ең кiшi мәндi тұлдайды, (7.2 ) шешiм - (7.4 ) функционалға. Дәлел. Бiр өлшемдi жағдай үшiн бұл бекiтуді дәлелдеймiз, дәлел (7.2 ) теңдеулер үшiн, (7.4 ) жаттығулар ретiнде қалдырамыз.
|
|
енгіземіз.
болғандықтан, u(x)-
екi рет үздiксiз дифференциалдалатын
функция,
онда
және
(7.5
) үшiншi қосынды функция үшiн арқасында
шектi шарттардың нөлiне тең ; соңғы
қосынды нөлге тең, өйткенi u - (7.1 ) шешiм;
екiншi қосынды - терiс емес. Демек, I1(w
) -дің функционалдың минимумы жетіледі,
демек
немесе,сол сияқты , w(x)
= u(x) .
Бұл теорема сәл күрделiрек Остроградский-Гаусстың теоремасын пайдалануы керек болатын екi өлшемдi жағдай үшiн дәлелденедi. Сайып келгенде, (7.1 ) үшiн (7.2 ) туындылардың бөлiндiлерiндегi тиiстi есебi немесе өлкелiк есептiң шешiмi функционал минимизациялауды кейбір есепке апарады.
Егер функционал(7.3 ) немесе (7.4 ) астыдан шектелсе, сол жағдайда, онда функционалдың экстремальы –минимум, төменде құрастырылады, Ритцтың әдiсiнiң атауын алып жур . Есептiң қойылуынмұқият зерттеуге қажеттілік болмаса, экстремалды нүкте тұралы айтады,функцияның тұрақты нүктесі және тағы басқалар туралы айтады.