4.5 Харлоу ұяшығындағы бөлшектердiң әдiсi(pic method:Particle - In - Cell)

Харлоу PIC әдісін өткен ғасырдың Лос - Аламосс лабораториясында (АҚШ) лабароториясында интегралдаудың бастапқы облысының үлкен өзгерулерiмен процестердi есептеу үшiн ойлап тапты.

Интегралдауын облыс h қадамы x, y екi координаталар бойымен тұрақты,ұяшығы k, l екi индекс нөмiрленген есеп айырысу торымен кеңiстiкте белгiленген болады.

Ұяшық орталығында і (газдың жылдамдығының құрамдас бөлiктерi ) шамасын есептейді, мұндағы i –зат номері, - i нөмiріндегі газдың меншiктi iшкi қуаты, - бұл заттың массасы. Егер ұяшықта бұл зат жоқ болса, онда энергияда, массада нөлге тең болады.

Әр ұяшықта бірнеше бөлшек (5-10) бар деп болжайық, әр j нөмiрi бар бөлшек -масса координатасымен және зат массасымен сипатталады.

Сандық интегралдаудағы қадам есептеу шамасынан тұрады және жоғарғы уақытша қабатта t_{n + 1} есептеп шығарған шамалар бойынша төменгі қабтында t_n

болады.

Есептеудiң бiрiншi кезеңiнде ізделініп отырған функция өзгерісі қысым күшiнің есебінен екені ғана екеріледі. Айырма ара қатынастары бұл теңдеуде аппроксимация жасайды деп болжаймыз

мұндағы

Бұл есептеулерде әр газ күйі үшін теңдеулер қатысады

Екiншi кезеңде конвекциялық мүшелердi аппроксимация жасайды

Бірінші кезеңдегі есептеу процессін сипаттайық. Бізге , , mⁿ, , Xⁿ, Yⁿ

индекстері белгілі(мазмұндаманың оңайлығы үшiн қалған индекстердiалмаймыз). Алдымен қысымы есптелінеді, p₁ = p₂ = ..., екi орта шегiндегі қысымдардың теңдiктiң ұсынысынан сүйене отырып немесе

Бұл теңдеуге шартын қосамыз, себебі - i номерінен тұратын газдың h2 ұяшық көлемнiң бiр бөлiгi. Белгілі i газ массасынан оның тығыздығын табамыз: , ал белгілі меншікті энергиясынан - қысым .

Осыдан кейін Дальтон заңы бойынша - k, l ұяшығына жазылатын қысым табылады. Сызықты емес алгебралық теңдеулер жүйесi шешіледі, жалпы айтқанда итерациялық әдiспен. жағдайында оның айқын шешімі жазылады. Ары қарай деп белгіленетін бастапқы есептелетін шамаларды табамыз. Бірінші теңдеудегі

Массаның сақталу заңы - торда түрінде болады. Себебі бірінші кезеңде болса, онда келесі екі айырымдық теңдеу – қозғалыс теңдеуі

мұндағы

Соңғы есептелетін шама- энергия. Ұяшықтардағы бөлшектердiң әдiсiндегі энергия бұл теңдеудiң дискреттi аналогi болады.

Мұндағы

энергиясын есептейік.

екенін еске түсірейік.

Онда eh²

- h x h ұяшығының энергиясы олады:

Мұндағы -ұяшық тең массасы. Мұндай жағдайда массаны сақталу заңының есептелуiмен

Массасы және меншікті ішкі энергиясы екенін біле тұра, Ішкі энергиясы бар ұяшық шамасын есептейік

енді есептеу алгоритімі және сәйкесінше мына қатынастан

толық меншікті ішкі энергияны табамыз. Дегенмен iзделетiн әр зат үшiн меншiктi iшкi қуат негізгі шама болып табылады. - i зат бойымен уақыт аралығында қадамның бiрiншi кезеңінде меншiктi iшкi қуаттың i затты өзгерiсі болсын. m_i (i зат массасы) екені белгілі, ( ) ұяшықта толық меншiктi iшкi қуаты толық өсiмшесін жазып аламыз және одан алынған толық өсiмшесiне теңдестiремiз:

Әр газ өзгерісін анықтау үшін әлдебір шындыққа ұқсас жорамал жасау керек, мысалға барлық ұқсас деп санаймыз. Онда және сәйкесінше , тең болды. Осымен есептеудің (предиктор) бірінші кезеңі аяқталды.

Есептеудің екінші кезеңін қарастырайық.

Бөлшектердiң қозғалысы кәдiмгi дифференциалды теңдеулермен суреттеледi:

мысалы, Эйлер әдісін қолдану арқылы жақындауы мүмкін болатын шамалар. Сол кезде дифференциалды теңдеулер айырма теңдеулермен алмастырылады:

мұндағы бөлшегі ұяшығы қоршаған p бөлшектерде

интерполяция әдісімен анықталады.

Осыдан кейін тасымалданған массаны есептейді және әр ұяшықтағы жаңа массаны есептейдi. Ол үшiн бөлшектердiң үш тобын ерекшелейдi:

• ұяшық шегінде n + 1 қабатында қалған бөлшек анық және массаға, импульсқа, энргия және жаңа ұшыққа еш өзгеріс әкелмейді. Яғни

мұндағы, -ескі ұяшықтың белгіленуі

• ұяшығыннан кеткен бөлшек

• Көршілес ұяшыққа кеткен бөлшек

Уақыт аралығында қадамға шектеу қойылады:

бiр қадамға бөлшектiң ауысуына тыйымсалынады, бiр ұяшыққа қарағанда. Бұл жағдайда ауысу тек көршілес ұяшыққа ғана мүмкін. Әр p бөлшек уақыт аралығында n + 1 қадамында көршілес ұяшыққа өткенде mp массаның береді. Бұл масса mikl мағынасы үшiн барлық i тптес бөлшектерiнiң қосндсын білдіреді,олар үшін

Импульстің есептелуі төмендегiше орындалады. ( k, l ) ұ яшығының бөлшектерінің толық импульсінің құрауыштары сияқты есептелінеді, бұл ретте ұяшығынан кеткен p бөлшегі импульсін алып кетеді. Уақыт бойынша Skl бiр қадам импульсінің өзгерiсi

мұнда қосындылардың символдары осы ұяшықта тастап кеткен (p ) және сәйкесiнше келген бөлшектер бойындағы қосындыларды бiлдiредi. Импульс компоненттерін есетеу кезінде әр ұяшықтың жылдамдық компоненттері есептелінеді.

S_ke ұяшығынан басқа ұяшыққа өтетін i типтегі бөлшек толық энергияны ауыстырады

Аралық қадам ұяшығындағы i затын ұяшығында есептеп шығаруға болады:

T = tn + 1 болғанда толық меншiктi энергияны мына шамаға өзгертедi

қосындылаудың белгiлерi барлық ұяшығынан кеткен және келген бөлшектер бойындағы қосындыны бiлдiредi. Бұдан

аламыз.

Бұл әдістің кемшіліктерін көрсетейік. Біріншіден дискретті тығыздық аз мөлшердегі ұяшық бөлшектерінің секіріс тәрізді тығыздықтың өзгеруіне алыпкеледі. Екіншіден , бастапқы теңдеулердiң аппроксимациясы шексіздікке ұмтылған бөлшектерінің санын а жетеді. Одан басқа, бұл әдiс жадтың едәуiр үлкен болуын талап етедi, шектелген-айырма әдісіне қарағанда, өйткенi,физикалық сипаттамаларымен қатар, ұяшықтардағы бөлшектердiң қасиетiнде сақталуы керек.

Ұяшықтардағы бөлшектердiң әдiсiн жайлы толық сипаттама [14.11] жазылған.