4.2 Лакс - Вендроффа және Мак – Кормак әдістері.

Егер газ динамикасының теңдеулерiнiң жүйесi дивергент түрінде жазылған болса

Онда айырма сұлбалары сәйкес Лакс - Вендрофф және Мак – Кормака әдістері сандық теңдеудің ауыстырымдылығына пара-пар(лекция 3).

Лакса – Вендрофф сұлбасы келесі түрде болуы мүмкін:

(бірінші кезең);

(екінші кезең);

МакКормак сұлбасын келесі түрде көрсетеміз:

(бірінші кезең);

(екінші кезең);

Дивергент түрінде жазылған теңдеу болғандықтан, онда алынған сұлба консервативті (кертартпа) болуы мүмкін. Газды динамиканң консервативті сұлбаларын толығырақ [14.4], [14.5].

4.3 Сандық теңдеу шешудегі газ динамикасының торлы сипаттағы әдісі. (м. - к.М.Магомедова - а.С.Холодова) .

Бұл әдіс(әдістер тобы) сандық есептерді шешуде тиімді себебі олар үшін толқынды процестердің өлшемдері және тұтас орта маңызды. Әдістер жайлы толығырақ [14.6] кітапта, толық мазмұны [14.7] монографиясында жазылған.

матрицасының газдық динамикада жазылу түрі:

, , меншікті сандарына ие және меншікі векторына тиесілі(мысалы сол жағы алгебралық теңдеулердiң сызықтық жүйесінің шешiмiнде болады). Қорыта келгенде, газ динамикасы теңдеулерi бiр өлшемдi жүйе квазисызықты жүйенің гиперболалық түрiнде болады.

Жолда жазылған сол жақ меншікті вектордың матрицасы меншікті матрицасының базиске ауысуындағы матрицасы болып табылады.

• матрицсы түрінде болсын, мұндағы -матрицасының меншікті санынан тұратын диагональдік матрица:

Айырма сұлбаны алу үшiн белгi енгiземiз:

Рис. 4.1. 

Газ динамикасының бастапқы жүйесінің әр теңдеуін матрицалық түрде жазылған көбейтеміз, нәтижесінде мынаны аламыз:

немесе сол жақ меншікті вектор екенін ескерсек

Меншiктi сандарды белгiнiң (немесе сипаттамалар бағыты) есептеуi бар туындыларының бөлiндiлерiнде теңдеулердiң алынған жүйесiн айырма аппроксимация саламыз:

Қабылдаудың жеңiлдiгi үшiн аппроксимацияның бiрiншi дәрежесінiң ең оңай әдiсiмен шектелеміз:

Жоғарыда келтірілген айырма теңдеуі матрицалық түрде болуы мүмін

Немесе жоғарыда шешілген қабат түрінде

Не болмаса ықшам түрде

Мұндағы

Сипаттамалар есептеуінің бағыты газ динамикасы үшін тұрақты айырма сұлбасын алуға мүмкіндік береді. Торлы –сипаттамадағы сұлбалар есептердің шешу қасиеттеріне байланысты үлгіні тез ауыстыруға мүмкіндік береді. Екі және үш өлшемді кеңістіктер үшін жалпылама әдістер бар. Анықталмаған коэфициенттер әдісімен бірге торлы –сипаттағы әдіс бірлесе тек газды динамика нәтижесін ғана емес сонымен қатар қатты дене механикасының деформациясымен, магниттік гидродинамикада да нәтиже берді.

4.4 Газ динамика теңдеуінің бір өлшемді сандық есептеу жүйесі үшін и.М. Гельфанд айырма сұлбасы.

Газ динамика теңдеулерінің жүйесі , обылысында есептелінеді, интегралдаудың кесіндісі интервалының түйіндерімен бөлінеді. Барлық аралықтар газбен толтырылған, бұлай болу тұтас орта мехникасының жақындауына әкеледі. Аралықтағы шама үзілісті- тұрақты. Сандық есепті шешу алты функциямен анықталады:

-жылдамдық, қысым, меншікті ішкі энергия, температура, меншікті көлем, эйлерлік координата.

Есепті шешу үшін туындының бөлімдерінде газ күйінің лагранж ауысуындағы сипаттамасын беретін бiр өлшемдi тұрақты теңдеулердiң жүйесi ( -лагранждық координата)

Мұндағы a(T, v) - жылу өткiзгiштiктiң берiлген еселiгi, - Рихтмайер – Неймана жасанды тұрақтысы, - жасанды коэффициент тұрақтысы.

екені белгілі, егер

сол ретте

немесе

уақыт өте тығыздық үлкейген сайын газ сығыла бастайды. Қайта сиретiлу аймақтарында

және Q = 0 жасанды тұтқырлық қысу аймақтарында ғана жүзеге асады.

Жылу өткiзгiштiктiң еселiгi температураға бағынышты болады және былай беріледі:

Қарастырылатын есепке бастапқы мәліметтер :

болады.

Шекаралық шартқа келесіні таңдаймыз:

Сандық интегралдауда { u, T, , v, x } функция мәні n қатарында белгілі және есептің шешуін осы функцияның n + 1 қатарын есептеу болып келеді. Торлы функция } анықталмаған айырма сұласымен есептелінеді.

Нәтижесінде айырма сұлба келесі түрде жазылады:

Жасанды тұтқырлықты есептеу үшін бұл теңдеулер жүйесіне айырманы қосамыз:

Жалған шекаралық шартпен Q_{M + 1/2} = 0 интерполяциялауды p_m қолданмыз

Сұлба координата бойымен аппроксимацияның екiншi тәртiбi ие болады 0,5 тең салмақ коэфициентінде және уақыт бойынша екінші тәртіп,онымен қоса спектордың барлық нүктесі бірлік шеңберде жатады. Толығырақ [14.10] сұлбасында.