4.1 Бiр өлшемдi газ динамика теңдеулердi жазу түрі.

Сұйықтармен газдардың қасиеттерін қарастырудағы математикалық модельдерді құру негізінде тұтас орта ұғымы жатыр. Ортаның жеке бөлшектерден тұратындығы(малекула, ион, атом, электрондар) және олардың арасындағы қашықтық өз өлшемдерінен үлкен екенін малекулалақ физикадан белгілі. Еркін қозғалған бөлшек ұзындығы 1 (екi соқтығысулардың арасындағы бөлшек өтiлген қашықтық) бірлік көлемде бөлшек неғұрлым аз, неғұрлым көп болуы орта тығыздығы соғұрлым көп болуына әкеледі. Сұйықтармен газдардың механикасында бірлік көлемде көп бөлшектер болатын орта қарастырылады (Авагадро санынан көп бөлшек). Авагадро –бір граммдғы бөлшек саны. Ол .

Мұндай ортада әрбір бөлшектің жеке-жеке сипаттамасын қарастырмай, кейбір ортақ сипаттамаларды ғана қарастыруға болады.

Жуықтаудың қолданылғыштығының есептiк белгiсiмен тұтас орта теңсiздiк мүмкiн қызмет ету. Тұтас ортаның жуықтауының есептік критериі мына теңсіздікпен өрнетеледі: , мұндағы L-кеңістік өлшеміне тән есеп(мысалы, сыртқы айнала ағудағы газ ағымының дене өлшемi). Газдың қалыпты жағдайында см, сондықтан қойылған шарт 1 см өлшемді денеге жеткілікті дәлдікпен орындалады. Тұтас орта ұғымы өз бастамасын үзіліссіз деформацияға ұшырайтын субстанция деп қарастырған Эйлерден алады. Газ динамикасы теңдеуіне қарамастан (бұл тақырыпқа өте көп кітаптар арналған [14.1], [14.2], [14.3]) оны соңғы түріне келтіреміз.

Газ динамикасының теңдеулерiнiң бiр өлшемдi жүйесiн Эйлерлік (недивергентная) түріне келеді:

(4.1) мұндағы e- меншікті қуат, - тең меншікті ішкі энергия, u-газ жылдамдығы, -орта тығыздығы, p-қысым, t-уақыт, x-декарттық координата. Бұл теңдеу жүйесін меншікті тундыларын матрицалық(сипаттамасын) түрде келтіруде болады

Мұндағы - вектор-баған, - 3 x 3-шi квадрат матрицасы.

Жүйе мына түрде тұйықталады

идеал газы үшін

болады.

Мұндағы -шексіз тұрақты, тұрақты қысымда газдың жылу сыйымдылығына тең және тұрақты адиабаталық қысымға тең көлем.

Матрицалық түрде жазылған (4.2) температура функциясында қысым(немесе меншікті ішкі энергиясы) және қысымы бар екені ескерілген демек

Формула қорытындысымен айналыспай (жай алгебралық түрлндірулермен жүзеге асады) энергия түрлерінің басқа жазулары бар екен деп жоғарыда келтірілген теңдеуге дұрыс

аламыз

мұндағы -адиабаталық дыбыс жылдамдығы

-энтропия. Ол, соңғы формуладағыдай, идеал газдың бөлшегiнiң траекториясын сақтайды, яғни теңдеудiң траекториясында

Газ динамикасы теңдеулердi дивергент түрі интегралдық түрде жазған кезде тиiстi сақталу заңдарын алады. Егер осыдан кейін шекті ауыстырым жасаса, онда диференциалдық теңдеу

( 4,3)

болады.

немесе матрицалық түрде

Бұл теңдеудің интегралдық түрі Гаусс – Остроградский теоремасын қолданғаннан шығады.

мұндағы - интегралының t, x жазықтығындағы тұйық облысының шегі. Мұнда -сәйкесінше газдың тығыздығы, жылдамдығы және қысымы. Механикада әр-түрлі ортада эйлерлік және лагранжтың орта жайлы сипаттамалары қолданады. Бірінші жағдайда бақылаушы жылжымайтын болып саналады, мысалы өзен жағасында тұрған адам. Сәйкесінше есептеу торы жылжымайтын болады(белгiленген эйлер торы). Екінші жағдайда бақылаушы ортамен бірге жылжиды деп есептейміз, мысалы өзен ағысымен жүзіп келе жатқан қайықта отыруы. Бұл жағдайда лагранждық есептеу торы ортаның бөлшектерімен бірге қозғалады.

Лагранж теңдеуі бiр өлшемдi газ динамикасы теңдеуі сияқты болады

мұндағы

х және сәйкесінше эйлер және лагранж координатасы, екеуінің байланысы соңғы теңдеуде берілген. Бұл жүйе бір өлшемді болған жағдайда басқа түрде жазылуы мүмкін. Егер лагранждық координатасына диференциалдық теңдеуіне байланысты жаппай лагранждық координатасын енгізсек

Соңғы жүйедегі жаппай координата былай жазылады:

(4,4)

Бұл жүйе лагранж және эйлер координаталарын байланыстыратын толықтырулармен толықтырылады

мұндағы меншікті көлем.