9.6 Сурет

Теңдеуін интегралдайық

Айырымдық тордың элементарм ұяшығы бойынша мынаны аламыз:

(9.4)

Мұндағы Г- сәйкес қабырғаларының ұзындығы, S_ij - элементар ұяшықтың ауданы.

Дөңес төрт бұрыштың барлық төбелерiнің координаталары белгілі болғандықтан, ұзындықтарды, аудандарды және бұрыштардың iздестiруi - қарапайым геометриялық есеп болып табылады.

(9.4) теңдеу - (9.2 ) теңдеудiң дискреттi аналогi. tⁿ, t^{n + 1} уақыт моментінде барлық ағандарды анықтауға болса, содан кейін (9.2 ) аппроксимацияны әр уақытта қандай болмасын өлшеммен қолдануға болады, онда температура өлшеміне айырымдық сұлба құрылады.

Мынаны ескеремiз

(9.3) ке дискретті аналогін құрамыз

(9.5)

Функционалдың дискреттi аналогiнiң бiрiншi қосындысына кiретiн скалярлық квадраттар, контрвариантты проекция арқылы өрнектеледі (9.7-сурет) .

және т.с.с

9.7 Сурет

"+" немесе "-" таңбалары ереже бойынша анықталады: "+" ағынның компонентi, егер сыртқы нормалы бар бағытталған ағынының проекция болса. Егер қарама – қарсы болса "-" . Сайып келгенде, және бұрыштардың ұяшықтары үшiн "+" таңбасы, ал және бұрыштары үшін "-" таңбасы болады (әртүрлi таңбалардың шығармасындағы жылу ағынының проекциясы) .

Анық сұлба алу үшiн, σ = 0 жоғарғы салмаққа қабатын(9.5 ) ке қойып және W_ξij, W_ηij бойынша дифференциалдаймыз. Туындыны нөлге теңестіріп алып, ағындардың анықтау сұлбасын аламыз, соңында (9.4) тен іздейміз.

(9.4) анықталмаған сұлбаны құрастыру үшiн σ = 1 деп санаймыз, ал (9.5) орнына дискретизацияны жазамыз:

Тәуелдi болатын өрнектi (9.5 ) мәніне болғанша анық көз жеткіземіз. бұдан белгiсiз қарсы проекциялардың квадраттар қосындысы бар. Дифференциалдай отыра, ағындарды анықтау үшiн теңдеулердiң сызықты жүйесiн аламыз. Жүйенiң матрицасын келесi қасиеттерге ие болатынын көрсетуге болады:

1. 

2. құрылымы лента тәріздес болады;

3. сирелген болып табылады.

Жүйе шешiмiне тиiмдi итерациялық әдiстерді қолдануға болады.

Анық шартты анықталмаған сұлба орнықты болатыны дәлелдеген.

k = k(x, y, u) бұл әдіс оңай жағдайда жалпылайды, егерт теңдеу туындаса. Бұдан басқа, бұл әдiс шектi шарттардың жағдайына қорыта алады. (9.3 ) осы жағдайда функционалға шекаралар бойынша тиiстi интегралдар қосылады, ал (9.5 ) - беттер бойынша сомасы қосылады.

Толығырақ бұл сұлба туралы [19.2 ]беттен оқып шығуға болады.

Өздік есептер үшін тапсырмалар.

1. Кортевега-Де Фриза теңдеуі

Кортевега-Де Фриза теңдеуі (қысқаша КДФ) – математикалық физика теңдеуінің

Өзін өзі бақылауға арналған тапсырмалар:

1. Гамильтон қағидасының негізі неде?

2. Газдық динамика есептерін шешуге арналған ваиациялық сұлбалар жайлы айтып беріңіз

3. Есептерді өзіндік шешіп кқріңіз.

4. Лекция: Газды динамиканың теңдеулерiнiң сандық шешiмiнiң әдiстерiне кiрiспе:

Дәріс алғашқы кітапты оқығанда қажет емес. Бұл дәрісте кейбір жиі кездесетін сандық әдістер теңдеулерінің газды динамика қолданулары келтіріледі.

Туындылардың бөлiндiлерiндегi теңдеулердiң шешiмiнiң айырма әдiстерi қарастырылған алдыңғы дәрiстердегі мысалда сызықты есептермен немесе қасиеттері жақсы зерттелген сызықты емес теңдеулердiң бос тұрулары жеткiлiктi болған. Нақты есептеуiш тәжiрибедегi мұндай есептер күрделiрек сызықты емес жүйелердi шешу әдiстерiнің жан-жақты зерттеуi үшiн тесттермен әдетте қызмет көрсетедi. Сандық әдістердің дәстүрлі объектісі болып тұтас орта механика(ТОМ) теңдеуі болып табылады. Бұның негізгі себебі үшеу. Біріншісі-барлық ТОМ-ң модельдері әлдеқашан ереден белгілі, олар жақсы зерттеліп және ғылыми классикның бір бөлшегі болып келеді. Екіншісі –ТОМ-ң математикалық моделі сызықты емес. Әдеттң түзетілген теңдеулердің қолдану облысы кең емес. Үшіншісі –ТОМ-ң XX ғасырлардан бастап қызығушылығы, авиацияның өте қарқынды тез дамуымен, ядролы ғылыммен және әр түрлі елдердегі ғарыштық программалардың өсуінен болды. Бұл кітапта ТОМ-ң ең қарапайым газдық динамика теңдеулерімен шекелеміз. Бұл дәрістің басты идеясы –жоғарыда көрсетілген ойлармен және есептеуіш математика әдісін нақты есептерде қолдану.