9.2 Сурет

Ендi L_h Лагранж дискреттi аналогiн енгiземiз. Ол үшiн бiрдей Δl ұзындықтың кесiндiлерiнiң стерженге бөлеміз( бiрдей масса). Әрбiр кесiндi θ_k көлбеу бұрышымен бейнеленедi (9.2 сурет)

Шектi элементтер немесе орталық айырымдары бар сұлбалардың аналогi пайда болды. Өрнек интегралдары шектi бұрылыстармен алмастырған, бұл интегралдар iс жүзiнде трапециялар әдiсiмен есептеген, яғни L_h лагранж анықтауындағы O(Δl)² қателiгі бар. Енді теңдеулер жүйесінің қатарын жазамыз.

яғни, енгiзiлген торда барлық мәндерге арналған функционалдың дискреттiк аналогi дифференциалданады. Соңғы теңдiк қаралатын есептер үшiн байланысқа алып келедi

бойынша лагранждың дискреттiк аналогiнiң соңғы өрнегiне және дифференциалдауды орындау алмастырулардан кейiн аламыз:

Осылайша гамильтонның вариациялық қағидасының торлы аналогiнiң қолданғанда , дифференциалды – айырма теңдеулер жүйесі алынды (уақыт бойынша дифференциалды, айырма кеңiстiк бойынша айнымалы).

9.3- сурет.

Бұл жүйені қарапайым дифференциалды теңдеу секілді шеш біраз қиын болады, өйткені ол Кошидің нормалы формасына келтірілмеген. Бірақ соңғы дифференциалды – алгебралық жүйемен жұмыс істеп шешуге болады. Шешімдердің алгоритмінің негізі glk - Гриннiң функциясының торлы аналогы болған. Кері матрица оператордың екінші туындысының торлы апроксимациясы. Толығырақ [19.1 ]

Қисық сызықты торда жылуөткізгіш теңдеу үшiн вариациялық сұлба

9.5-сурет.

Жылуөткізгіштік сызықты теңдеуді қарастырамыз:

(9.1)

Шекаралық шарттарымен

қисық сызықты Ω шектелген шекарамен. Сонымен қатар теңдеуінде де ешқай жерде азғындалмаған, яғни k(x, y) > 0 облыстың барлық нүктелерінде, шекаралық нүктелерін қосқанда. Ω шектелген облысында төртбұрышты ұяшықтары бар тор енгізілген. Тор қисынды болып есептеледi, яғни ұяшықтардың кез келген екi төбелерi үшiн бөлшектенген, оларды біріктіретін және ұяшық қабырғаларынан тұратын (9.5- сурет).

Ω облысын ішінде бірдей өлшемді торы бар параллелограмға (тiк төртбұрыш ) ауыстыратын, түрлендіруі бар тор құрылған болсын.Онда x, y координаталық сызығы ξ, η қисықсызықты базисі қисық координатаға көшеді.

(9.1 ) теңдеуін жүйе түрінде жазамыз.

(9.2)

Функционалды қарастырамыз

(9.3)

табамыз:

Бұдан функционалдың минимумы жылуөткізгіштік теңдеуінің шешiмiнде жетедi.

Айырымдық сұлба үшін , функционалының дискретті аналогын енгіземіз, яғни дискретті аналогта есептік мәні жылу ағыны болады.

Функционал құрастырудан бұрын, (9.6- сурет) айырма тордың ұяшығын қарап шығамыз. Uij және kijдiң (немесе жылу өткiзгiштiк) жылу еткiзуiн коэффициент температураны (диагональлердiң қиылысу нүктесiне) ұяшықтың ортасына жатқызамыз. Келесіде термодинамиялық шама барлық ұяшықта тұрақты деп санаймыз. Жылу ағынының векторлары (9.6- сурет) ұяшықтың бұрыштарына жатқызамыз, ал тиiстi қабырғалардың орталықтарына - координаталық өстерге ағындардың проекциясын жатқызамыз. I координатаның үлкеюiн ξ шара бойынша үлкейетiнiн санаймыз ; j η үлкею өлшемі бойынша ; ағынның векторларының проекциялары бойлай тиiстi координаталық сызықтарға бағытталған. Сыртқы нормалдың векторлары бар екi ұяшық үшiн