7.9 Сурет

i = m = 2 болсын.

мына шарттан , шығады. Ұқсас Функцияның графигі 7.10 суретінде көрсетілуде

7.10 Сурет

Егер p + 1 жоғары емес барлық базистiк функциялар дәреженiң теңдеуi үшiн (C^m жатады) үздiксiз болса базис үйлесiмдi болып табылады.

Галеркин әдiсi мұндай базисті қолданана ма? Енді торлар нүктесінде (элемент аралық ) u функциясын білу емес, бірақ ол x: бойынша туындысын бiрiншi, екiншi, ...., (m - 1)бiлу керек.

u(a + jh) и u'_x(a + jh) Галеркин әдiсiнiң теңдеулер шешiмiнде сандық анықталатынын атап өтемiз.

Базистiк функциялар және жiктеудiң коэффициенттерiнiң саны үлкейдi.

Сонымен бiрге сирелген жүйенің матрицасын байқаймыз, бiрақ (екiншi жүйенiң ретi жоғары болса ) үш диагоналды емес.

7.11 Сурет

Екi өлшемдi жағдайдағы келiсім. (7.11-сурет) келесi қапсыру шамалар керек: түйiндегi 18 шамалары плюс нормалы туындылардың мәндерi шегiнде.

Демек кез келген тұрақтыны 21 алу керек, бұдан 21 шарт пайда болады. Полином алу керек (көпмүшелігі x⁵, y⁵дейін) жоғары дәрежесі жеткiлiктi болса. Сондықтан келiсiлмеген базистiк функциялар немесе (m = 1 ) төменгі тәртiбiмен қолданылатын көп өлшемдi жағдайда келiсу.

Өзiн-өзi тексеру тапсырмалары:

1 )Шектi элементтер әдiсiнiң базис түпкі идеясы қандай?

2 )Ритц вариациялық жолы туралы әңгiмелеңiз.

3 )Базистiк функциялардың құрастыруы туралы әңгiмелеңiз.

13 Дәрiс. Ыдырау әдiстерi.

Дәрiстiң мақсаты: ыдырау әдiстерiне әртүрлi тектi ортақ ұсыныстар беру.

Тақырып сұрақтары:

1 )Ыдырау әдiстерi туралы ұғым.

2 ) Бiрiншi және екiншi τ дәлдiк ретi бойынша ыдырау әдiсі.

3 ) Компонент бойынша ыдыраудың кезеңдiк әдiстерi.

4 )Оператордың факторизациясымен ыдырау әдiстерi.

Қысқаша тақырып мазмұны:

Ыдырау әдiстерi туралы ұғым

Тұрақты коэффициенттерi бар туындылардың бөлiндiлерiндегі теңдеу үшiн дифференциалды есептi қарап шығамыз:

(8.1)

бұл оператор – тұрақты коэффициенттерi бар оң дифференциалды оператор. операторы бойынша туындыларға кеңiстiктiң айнымалы кiредi. кез келген нөл емес элемент үшiн орындалған. Γ — интегралдау облысының Ω_x шекарасы. Λ — айырма оператор аппроксимациялайтын. Айырма теңдеуін тексеруге болады

(8.2)

Екiншi ретпен τ дейiн (8.1 ) аппроксимация жасайды (Кранк-Никольсон сұлбасы).

[tⁿ, t ^{+ 1/2}], [t^{n + 1/2}, t^{n + 1}] жазып алған аппроксимациялардың бiрiншi дәрежесiнiң анық және анықталмаған сұлбаларын кезектескен қолдануды нәтиже сияқты түсiндiруге болатынын байқаймыз

(8.3)

Аралық жiктегi (8.3 ) теңдеулер функциясының мәндерiн алмағанда (жартылай бүтiн индекспен) әр уақытта, (8.2 ) аламыз. Егер , онда

(8.4)

Сонымен бiрге айырма операторы оң болып табылады

Келесi жiктегi шешiм операторлық түрде төмендегідей әр уақытта жазып ала алады

немесе

онда

Алған айырма теңдеудiң орнықтылығының дәлелдерi үшiн (8.4) скалярлық көбейтемiз, (uⁿ + u^{n + 1})/2 аламыз

(8.5)

Дұрыстыққа байланысты айырма операторы , онда (8.5) сұлбасының орнықтылығы қамтамасыз еткенi шығады. Егер айырма Λ оператор болса жоғарғы және төменгi қабаттар айырма операторлардың жартылай сомасы түрiндегi таңдалған (кеңiстiк айырымдары) әр уақытта болады.

Онда схема бойынша τ аппроксимацияның екiншi ретiне ие болады.

Бiрiншi және екiншi τ дәлдiк ретi бойынша ыдырау әдiсі

Жергiлiктi – бiр өлшемдi сұлбалар

Айырма оператор оған сәйкес дифференциалды оператор қоямыз әрбiр сәйкесiнше бiрсарынды тек қана кеңiстiктiң айнымалы және айырымның тек қана бiр-бiрдендегi туындылары бойлай қосатын операторлардың сомасының түрiнде көрсетуге болады. Жинағы кеңiстiктiң бағыттары N. Мұндай дифференциалды және айырма операторларды жергiлiктi– бiр өлшемдi деп атаймыз. Дифференциалды және айырма операторлар сомасы жергiлiктi – бiр өлшемдi түрiнде жазылады:

Бiркелкi есеп үшiн бағыттар бойынша ыдыраудағы сұлбаны көшiрiп алуға болады:

Әрбiрi бастапқы дифференциалды аппроксимация жасамайтын айырма теңдеулердiң жүйесi алынған, бiрақ оңай (егер айырма операторлар тек қана алғашқы және екiншi айырымдарда болса бойлай тиiстi бағыттың прогонкасының әдiсiмен) шешiле алады. Әйтсе де, басқа, оларда дәйектi түрде қолданылған бірінен соң бірі дәлдiгi бар шешiм келесi жiкте әр уақытта бередi. Қабатты өткелiнiң қорытынды операторы жиынтық аппроксимация орын алатынын айтады. Әдiс жоғарыда айтылған кейде бөлшектi адымдардың әдiсiмен деп атайды, жылу еткiзудi көп өлшемдi теңдеудiң шешiмiнде және одан тарлау кездестi.

Ыдырауды сұлбаның варианттарының бiртектi емес есебi үшiн болуы мүмкiн

Мысалы, кiрiспе оны барлық теңдеуiндегi оң бөлiктiң есепке алуының тағы басқа әдiстерi (келесi жiктегi аппроксимацияның қатесiнiң минимизациялауы әр уақытта) ең жақсы жиынтық аппроксимацияның шарттарынан жиналып алынатын таразының көбейткiштерiмен болуы мүмкiн.

Бағыттар бойынша ыдыраудың жоғары келтiрiлген сұлбалары абсолюттi орынды.

Ыдырау әдiстерiнiң ортақ тұжырымы

Жергiлiктi алмастырамыз – бiр өлшемдi дифференциалды операторлар айырма операторлармен келесі көрiнiстегi ыдырауды сұлбаны ортақ түрде көремiз:

Мұндай ыдырау сұлбаның орнықтылығының шарты болады. Ыдырау сұлбасы өлшем коэффициенттері мына түрде көрсетілген

Егер ыдырауларды бұл сұлбаға жоғарғы және төменгi қабаттардың салмағы Λ_i қойса онда γ = 0, 5, жалғастыратын операторлардың жағдайында (әрбiр мұндай айырма оператор екiншi тиiстi шамасында жергiлiктi аппроксимация жасайды - бiр өлшемдi дифференциалды оператор) сұлба аппроксимацияның екiншi ретiн әр уақытта алады.

Егер бұл әрбiр оператор болса, онда сұлба абсолюттi орнықты болады.

Жылу еткiзудi теңдеу үшiн ыдырау сұлбалары

Жылу еткiзудi тұрақты теңдеудi қараймыз

Мұнда Лапласа операторы анықталған Сонымен бiрге оны үш сома жергiлiктi - бiр өлшемдi операторлар түрiнде жазып алуға болады . Сәйкесінше оператор айырмасы болады егер екiншi айырма туындының есептеуi ұқсас операторларымен анықталады және қалған бағыттар бойынша Λ_yy, Λ_zz жергiлiктi - жылу еткiзудi сұлбасы теңдеу үшiн бiр өлшемдi болады

Аппроксимация ретiнiң жоғарылату үшiн салмақтар сұлбасын пайдалануға болады

Компонент бойынша ыдыраудың кезеңдiк әдiстерi

Әдiстер ол үшiн Λ_i операторлардың коммутативтiлiгi талапты болмайды.

(8.1 ) сандық шешiмін қарастырамыз, [tⁿ, t^{n + 1}] кесiндiде, [t^{n - 1}, t^{n + 1}]екi бiртiндеп адым. Ендi айырма жергiлiктi - бiр өлшемдi операторлар уақыттардан анық тәуелдi болады, олар сонда кесiндiнiң ортасында анықталады. Ыдырау сұлбасын жазайык:

(8.6)

Бұл әдiс операторлық формада жазылады, мағынасы

Математикалық физиканың кейбiр есептерi үшiн ыдырау кезеңдiк әдiсін қолданудың мысалдарын қарап шығамыз.

1- Мысал. Диффузияның үш өлшемдi тұрақты теңдеуi, интегралдауды облыс – параллелепипед болады. Тiк жазықтықтағы диффузиясының коэффициентi (0z өсі) тiк бағыт геофизиканың есептерi үшiн тән координатадан тәуелдi болады ма? — көлденең жазықтықтағы диффузиясының коэффициентi. Есеп түрiнде көрсете алады

үш бiр өлшемдi есептердiң бiртiндеп шешiмiне қаралатын үш өлшемдi есептiң шешiмiн түйiстiремiз. Бiрiншi есеп болады

ол тiк жазықтықтағы диффузиясын суреттейдi. Екiншi және үшiншi есептi жазып аламыз

Енді бастапқы дифференциалды теңдеудiң айырма аппроксимациясын қарап шығамыз

Циклдiк компонент бойынша ыдырау айырмасы сұлба түрін алады

Оператордың факторизациясымен ыдырау әдiстерi

Ыдырау сұлбасы факторизациялануы

Дифференциалды есептер шешiмдерi үшiн

айырма сұлбасын n = 0, 1, ... қолданамыз.

Fⁿ

Мысал. (бойлай-көлденең схемасы) айнымалы бағыттар әдiсi. Жылу еткiзудi сызықты екi өлшемдi теңдеудiң шешiмi үшiн сұлбаның жазылуын келтiремiз. Есептеу формулалары бар

Онда u^{n + ½} санап, операторлық түрін аламыз

немесе

Айырма сұлбасы факторизациялау сұлбасы түрінде берілуі мүмкін.

Анықталмаған сұлба ыдырауы жуық шамамен факторизацияланады.

Анықталмаған айырма сұлбасын қарап шығамыз

(8.7)

(8.7) айырма сұлбасы түрінде берілсін деп ойлайық

(8.8)

Өзін –өзі тексеруге арналған тапсырмалар:

1. Ыдырау әдісі туралы әңгімелеңіз

2. Бірінші және екінші ретті қандай ыдырау әдістері бар?

3. Факторизациялау операторымен ыдырау әдісі қалай байланысады?

14-15 дәріс. Айырма сұлбаларын құрастыру үшiн қолданылатын вариациялық қағи.

Дәрiстiң мақсаты: айырма сұлбалардың вариациялық қағидаларының қолдануы туралы ортақ ұсыныстар беру.

Тақырыпқа сұрақтар:

1 ) Гамильтонның қағидасы.

2 ) Қисық сызықты торда жылу еткiзудi теңдеу үшiн Вариациялық схема.

3 ) Өзіндік есептер.

Қысқаша тақырып мазмұны:

Ең кiшi әсер қағидасының (Гамильтон ) қолдану мысалы

1 ұзындығымен қатты созылмайтын сырықтың қозғалысы туралы есептi қаралады. Ол нүктеге 0 бекiткен, сырықтың басқа аяғына (9.1- сурет) күштейдi. Сырықтың қозғалысын анықтауға керек болады. Сырығының бастапқы формасы тап қалған болып есептеледi .

9.1-сурет

Мүмкін болатын шешiмдер : қозғалыстың теңдеуiн жазып алсын - гиперболалық түрдiң теңдеуi алады; шектi шарт қою; айырма сұлбаны құрастыру. Есепте бiрақ сырықтың керектi мөлшерде үлкен тербелiстерi рұқсат етiледi.

Шешiмнiң басқа әдiсi. Енгiземiз θ — s доғасының ұзындығы, t уақытының функция x тың өстерi ауытқудың бұрышы. Сонда аламыз

кинетикалық энергияның кағы бар

кинетикалық энергияның кағы бар ал потенциялдық энергия аз энергиядан жинақталады және ішкі күші : (1 коэффициентіне сәйкесінше тең болады)

L = T – U Лагранж жүйесі болады

Гамильтонның қағидасына сәйкес, әсердiң функционалы шын қозғалыстағы экстремалдық мәнге жетедi. Бұдан шығады және мынандай теңдеу аламыз

Интегро - анықтау үшiн дифференциалды теңдеу Ө(s, t), және де қалай оның айырма аппроксимациясын салу - түсiнiксiз. G(s, σ) атап өтемiз w''= - g(s), w'(0) = w(1) = 0 есебi үшiн Гриннiң функциясы бар.