8.4. Факторлар операторының ыдырау әдісі

8.4.1. Факторланған ыдырау схемасы Дифференциалдық теңдеуді шешу үшін берілсін

әр түрлі схема қолданылады , онда n = 0, 1, ... Есептеу үшін Fⁿ , O(N) алсақ, арифметикалық саны N торының санына прапорционал. Мұндай оператор экономикалық деп аталады.

Егер (i = 1, 2, ..., N) – экономикалық оператор болса, онда . Бұл схеманы факторланған оператор схемасы деп атаймыз , егер ол мына түрде болса

Бұл схема экономикалық болады, сондай – ақ әр түрлі теңсіздік шешу үшін, бұрынғыша O(N) қажет болады. Мәселен, теңсіздік шешімі

Қорытынды кезінде шешімі табылған

мұнда i = 2, 3, ..., N. Онда u^{n + 1} = u_n. Есепке ескертпелер енгізілген - аралық мағына.

Факторлық оператор схемамен бірге, кей жағдайда факторлық схема деп аталады. Тұрақты схема факторлық оператор , сондай – ақ ақырлы оператор , экономикалық схема табылады.

Мысал. Ауыспалы бағыт әдісі. Сызықтық екі өлшемді жылулық теңдігін келтіреміз. Санаулы формулалары бар

Онда u^{n + 1/2} қоса алғанда, операторлық формада аламыз

және , онда

факторлық ыдырау схемасы ретінде ұсынылады:

8.4.2. Жақын фактордың анық емес ыдырау схемасы

Анық емес схеманы қарастырамыз

(8.7)

Анық емес схеманы (8.7) түрінде береміз

(8.8)

(8.8) схемасын жақын нүктеге дейін анықтаймыз, тәртіп реті Ол үшін (8.8) ауыстырамыз, оператор факторлық

ескертпе енгізілген кезде

Қорыта келе анық емес факторлық схемаға жақындаймыз

әлде

Бұл схема шартты тұрақты, аппроксимацияның бірінші ретін қарастырады.

8.4.3. Предиктор – корректор әдісі

Негізгі әдіс идеясы " Предиктор – корректор әдісі "мағынасы мынада.Әр бөлімде [tⁿ, t^{n + 1}]есеп екі жолмен шешіледі: бірінші аппроксимация схемасы бойынша және ерекше шарт уақыт аралығы — предиктор. Екінші этапта жоғары ретпен шешімі жазылады - корректор. Негізгі идеясы Рунге – Кутта әдісіне ұқсайды.

Келесі ыдырау схемасы ретінде қарастырамыз:

Егер бұл ыдырау схемасын қоссақ u^{n + 1/4}, онда санаулы формула ретін аламыз

Ары қарай, , мынаны аламыз

Егер мына шарт орындалса

, , әр түрлі схеманың коэффициенті уақытқа тәуелді болмайды, онда дифференциалдық шешім шартты, екінші ретпен аппроксимацияланады.

Ары қарай қарастыратынымыз суммалық оператор ретінде ұсынылады

Егер бұл оператор шартты болса. Бұл әдісті санаулы формуламен жазуға болады.

Бұл теңдік аралық этаптан кейін, бір теңдікке ығысады

Схема құрылымына мысал келтірейік. Стационар емес үш өлшемді жылулық теңсіздігі

Келесі теңдікті аламыз

Алдымызда канондық түрдегі схема

Схема шартты тұрақты, аппроксимацияның екінші ретінде қолданылады және h_i бойынша.Практикалық есеп шешуде жиі қолданылады.Канондық схема түрі теориялық зерттеу кезінде өте қолайлы. .

Курсқа арналған кітаптар

1. Лобанов А.И., Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий - ИНТУИТ.ру, 2006